Radiciação de Complexos

Seja o número complexo z = r (cosq + i . senq ).
Para o cálculo das raízes e-nésimas do complexo z, ou seja, para o cálculo de , deveremos utilizar a seguinte fórmula:

onde k = 0,1,2,3, ... , n - 1.
Esta fórmula é aparentemente assustadora, não é?!
Vamos então, por partes.
1 - O ângulo
q (argumento do complexo) deve ser expresso em graus. Se você preferir usar a unidade radiano, ao invés de 360.k, deverá ser usado 2kp , pois 360 graus = 2p radianos.
2 - Como k = 0,1,2,.3, ... , n -1, então são n valores possíveis para a variável k, o que significa que existem n raízes e-nésimas de z. Ou seja: 2 raízes quadradas, três raízes cúbicas, quatro raízes quartas, cinco raízes quintas, etc.
3 - Observe que todas as n raízes e-nésimas de z possuem o mesmo módulo.
Vamos determinar, como exemplo, as três raízes cúbicas da unidade.

Seja o número complexo z = 1 (unidade).
Podemos escrever na forma polar: z = 1 (cos 0º + i . sen 0º)
Temos então:
módulo:
r = 1
argumento:
q = 0º = 0 rad
Substituindo na fórmula dada, vem:

Fazendo k = 0, obteremos a primeira raiz, ou seja:
z1 = 1(cos 0º + i . sen 0º) = 1(1 + i . 0) =
1
Fazendo k = 1, obteremos a segunda raiz, ou seja:
z2 = 1(cos 120º + i . sen 120º) =
-1/2 + i . Ö 3 / 2

Finalmente, fazendo k = 2, obteremos a terceira e última raiz:
z3 = 1(cos 240º + i . sen 240º) =
-1 /2 - i . Ö 3 / 2

Um detalhe importante pode ser visualizado no exemplo acima: os argumentos das raízes são 0º, 120º e 240º , que são termos de uma progressão aritmética de razão 120º. Isto não é uma coincidência! Veja a dica abaixo:

As n raízes enésimas de um número complexo de argumento q , possuem argumentos que formam uma
Progressão Aritmética de primeiro termo
q / n e razão 360º / n.

Sabendo disto, poderemos simplificar o cálculo das raízes de um número complexo.Por exemplo, vamos calcular as raízes quadradas da unidade imaginária:

Temos z = i ( i = unidade imaginária).
Portanto, z = 1(cos 90º + i . sen 90º)
módulo:
r = 1
argumento:
q = 90º
Como queremos as raízes quadradas, temos n = 2. Pela dica acima, os argumentos das raízes formarão uma P. A . de primeiro termo 90º / 2 = 45º e razão igual a 360 / n = 360 / 2 = 180º. Logo, basta determinar a primeira raiz e usar esta informação para calcular a segunda e última raiz.

Temos:

1ª raiz: fazendo k = 0, vem z1 = 1(cos 45º + i . sen 45º) = Ö 2 / 2 + i . Ö 2 / 2
2ª raiz: z2 = 1(cos 225º + i . sen 225º) = -
Ö 2 /2 - i .Ö 2 / 2
Observe que 225º = 45º + 180º (180º = 360 / n = 360 / 2 (veja acima).

Mais um exercício resolvido para você!
Resolva a equação z6 - 16z3 + 64 = 0 , onde z
Î C (C = conj. dos números complexos).
Vamos começar fazendo z3 = x ; Daí, vem z6 = (z3)2 = x2 ; substituindo, fica:
x2 - 16x + 64 = 0
\ (x - 8)2 = 0 \ x = 8
Como z3 = x , vem z3 = 8 . O problema consiste então no cálculo das raízes cúbicas de 8. Observe
que 8 = 8 + 0. i ( i = unidade imaginária).

Portanto:

Sabemos que existem três raízes cúbicas; logo, fazendo k = 0, obteremos a primeira raiz:
z1 = 2(cos 0º + i . sen 0º) = 2(1 + 0.i) = 2
Usando a dica
vista acima , vem:
z2 = 2(cos 120º + i. sen 120º) = 2(- 1 /2 + i .
Ö 3 / 2) = - 1 + Ö 3 i
z3 = 2(cos 240º + i . sen 240º) = 2[- 1 /2 + i . (-
Ö 3 / 2) = -1 - Ö 3 i

Portanto, o conjunto solução da equação dada é:
S = {2; -1 +
Ö 3 i; -1 - Ö 3 i}

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 18 de setembro de 1999

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