Um expoente natural

Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.

SOLUÇÃO: Inicialmente, veja que: (1 + i )2 = 12 + 2.1.i + i2 = 1 + 2i – 1 = 2i
Nota: é conveniente guardar de memória esta igualdade, pois ela poderá ser útil algum dia: (1 + i )2 = 2i

Observe também que (1 + i)2n = [(1 + i)2]n = (2i)n

Substituindo, vem: (2i)n + (2i)n + 16i = 0

Simplificando, fica: 2.(2i)n + 16i = 0

Ou, também: 2.(2i)n = -16i

Daí, vem imediatamente que: (2i)n = -8i

Podemos escrever: 2n.in = 23 . (-i)

Então, teremos inevitavelmente: 2n = 23 e in = -i

Portanto, n = 3, uma vez que também i3 = i2.i = (-1).i = -i.
A resposta é, então, n = 3.

Paulo Marques - Feira de Santana/BA - 06 de outubro de 1999

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