| Geometria Analítica III |
Determine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4).
Solução:
Sendo G(x,y) um ponto qualquer da reta cuja equação é
procurada, podemos escrever:
Aplicando a regra de Sarrus para
desenvolver o determinante de 3ª ordem acima, vem:
- 4x - 2y - 5 + 8 + y + 5x = 0 Þ x - y + 3 = 0 que é a equação geral procurada.
Observe que a equação da reta também poderá ser escrita como y = x + 3. Esta última forma, é conhecida como
equação reduzida da reta, como veremos a seguir.
1 - Outras formas de equação da reta
Vimos na seção anterior a
equação geral da reta ou seja ax + by + c = 0.
Vamos apresentar em seqüência , outras formas
de expressar equações de retas no plano cartesiano:
1.1 - Equação reduzida da reta
Seja a reta r de equação geral ax + by + c = 0 . Para achar a equação reduzida da reta
, basta tirar o valor de y ou seja :
y = (- a/b)x - c/b .
Chamando - a/b = m e - c/b = n obtemos y = mx + n que é a equação reduzida da reta
de equação geral ax + by + c = 0 .
O valor de m é
o coeficiente angular e o valor de n é o coeficiente
linear da reta .
Observe que na equação reduzida da reta ,
fazendo x = 0 , obtemos y = n , ou seja, a reta r intercepta o
eixo dos y no ponto (0 , n) de ordenada n .
Quanto ao coeficiente angular m ,
considere a reta r passando nos pontos A(x1 , y1)
e B(x2 , y2) .
Sendo
y = mx + n a sua equação reduzida ,podemos escrever:
y1 = mx1 + n e y2 = mx2
+ n .
Subtraindo estas equações membro a membro , obtemos
y1 - y2 = m (x1 - x2)
.
Logo , a fórmula para o cálculo do coeficiente angular da
reta que passa pelos dois pontos (x1 , y1)
e (x2 , y2) é :
Se considerarmos que as medidas Y2
- Y1 e X2 - X1 são os catetos
de um triângulo retângulo, conforme figura abaixo 
podemos concluir que o valor de m é
numericamente igual à tangente trigonométrica do ângulo a .
Podemos então escrever m = tg a
, onde o ângulo a é
denominado inclinação da reta . É o ângulo que a reta
faz com o eixo dos x.
A tga , como vimos é igual a m , e é
chamada coeficiente angular da reta . Fica portanto bastante
justificada a terminologia coeficiente angular para o coeficiente
m.
Observe que se duas retas são paralelas , então elas possuem
a mesma inclinação ; logo, concluímos que os seus coeficientes
angulares são iguais.
Agora resolva este:
Analise as afirmativas abaixo:
(01) toda reta tem coeficiente angular .
(02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular
nulo .
(04) se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu
coeficiente angular é positivo
(08) se o coeficiente angular de uma reta é positivo , a sua
inclinação será um ângulo agudo .
(16) se o coeficiente angular de uma reta é nulo , ela é
obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas .
(32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem
coeficiente angular .
Determine a soma dos números
associados às sentenças verdadeiras.
Resposta: 02+08+32 = 42