Uma raiz divisora Suponha que P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn seja um polinômio de grau n, com coeficientes inteiros (com a0 ¹ 0). Seja a um número inteiro.
Prove que se a for raiz de P(x), então a será um divisor do termo independente a0.
Nota: a = alfa : - primeira letra do alfabeto grego.
Solução:Seja o polinômio P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn com a condição que a0 , a1 , ... , an sejam números inteiros com o termo independente a0 ¹ 0 . A tarefa é provar que se a for uma raiz inteira de P(x) então a é um divisor de a0 ou seja (a0 / a) é um número inteiro.
Ora, se a é raiz de P(x) então P(a ) = 0, ou seja, o valor a anula o polinômio.
Nestas condições, fazendo x = a no polinômio P(x), teremos:
a0 + a1 a + a2 a 2 + a3 a 3 + ... + an a n = 0
Isolando a0 no primeiro membro fica:
a0 = - (a1 a + a2 a 2 + a3 a 3 + ... + an a n )
Colocando a em evidencia no segundo membro, fica:
a0 = - a (a1 + a2 a + a3 a 2 + ... + an a n-1)
Ora, sendo a1, a2, ... an e a inteiros, infere-se (deduz-se) que
(a1 + a2 a + a3 a 2 + ... + an a n-1) é também um número inteiro. Chamando de k esse número inteiro, teremos: a0 = - a . k .
Daí vem imediatamente que - a0 / a = k, o que mostra claramente que a é um divisor de a0 pois a0 dividido por a resulta no número inteiro k, ou seja, a é um divisor do termo independente a0 . Está portanto provado o simples teorema, agora, óbvio e ululante!.
Exemplo: Observe que 2 é raiz inteira do polinômio P(x) = x3 – 4x2 + 6x – 4 , pois
P(2) = 23 – 4.22 + 6.2 – 4 = 8 – 16 + 12 – 4 = 20 – 20 = 0 e que 2 é divisor de - 4, conforme preconizado no teorema provado acima.
Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 07 de setembro de 2004 – 182º aniversário da Independência do Brasil, segundo os livros de História.
Viva o FLUMINENSE - o melhor time do mundo! Citando o grande escritor e dramaturgo Nelson Rodrigues (in memorian) , diríamos que mesmo calçando as duras e feias sandálias da humildade, não podemos concluir outra coisa!