Cardano + Tartaglia: análise de uma equação do terceiro grau vinda do Piauí

Seja a equação polinomial em x, dada por x3 + 3x2 – 9x + a = 0, onde a é um número real. Pede-se determinar os valores de a, de modo que a equação admita uma e somente uma raiz real.

Notas:  
I - este problema foi enviado para solução  por um visitante do site, de Teresina – PI.
II - recomendamos revisar Equações Algébricas e Módulo 


Solução:

Vamos inicialmente fazer uma mudança de variável, colocando x = y + m, onde y será a nova variável e m um número real. Substituindo, fica:

(y + m)3 + 3(y + m)2 – 9(y + m) + a = 0
Vamos desenvolver a expressão acima:
y3 + 3y2m + 3ym2 + m3 +3(y2 + 2ym + m2) – 9(y + m) + a = 0
Efetuando as operações indicadas,vem:
y3 + 3y2m + 3ym2 + m3 + 3y2 + 6my + 3m2 – 9y – 9m + a = 0
Reduzindo os termos semelhantes, poderemos escrever:
y3 + (3m + 3)y2 + (3m2 + 6m – 9)y + m3 + 3m2 – 9m + a = 0

Esta equação em y é a transformada da equação dada, onde x = y + m. Qual o motivo para que eu fizesse esta transformação? Trata-se do seguinte: se o termo de segundo grau for nulo, obteremos uma equação do tipo y3 + py + q = 0 , cuja solução é conhecida, através da fórmula de Cardano-Tartaglia, a qual será apresentada na seqüência da solução.
Notas:
a) Niccolo Fontana (Tartaglia) – matemático italiano / 1500 - 1557.
b) Girolamo Cardano – matemático italiano / 1501 – 1576.

Retomemos a questão:
Fazendo o coeficiente do termo do segundo grau da equação obtida acima, igual a zero, fica: 3m + 3 = 0, de onde tiramos  m = -1. Substituindo o valor de m naquela equação, obteremos:
y3 + [3(-1) + 3]y2 + [3(-1)2 + 6(-1) – 9]y + (-1)3 + 3(-1)2 -9(-1) + a = 0
Simplificando, vem:
y3 – 12y + (11 + a) = 0
Ora, temos agora uma equação do tipo y3 + py + q = 0 onde  p = - 12 e q = 11 + a.

Vamos utilizar a fórmula de Tartaglia-Cardano para a solução da equação
y3 + py + q = 0 :


Lembrando que p = -12 e q = 11 + a, vem após as substituições:


Ou na sua forma equivalente:


Agora, observe bem os termos sob o radical de índice 2.  Para que y seja um número real, deveremos ter: [(11 + a) / 2]2 – 64  ≥ 0

Nota: se a expressão sob o radical de índice 2 for igual a zero, a equação terá 3 raízes reais, sendo duas delas iguais entre si ; se for menor do que zero, serão três raízes reais, porém, distintas entre si. Como queremos apenas uma e somente uma raiz real, vamos considerar apenas a desigualdade > (maior do que).
Observe que uma equação do terceiro grau admitirá sempre três raízes em duas situações excludentes: ou três raízes reais ou uma raiz real e duas raízes complexas.

Então, vem:

[(11 + a) / 2]2   > 64 ou, de outra forma equivalente:  (11 + a)2 / 4 > 64

Multiplicando ambos os membros por 4 (para eliminar o denominador 4), fica: (11 + a)2 > 256
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obteremos a inequação modular: |11 + a| > 16
Daí, poderemos escrever: 11 + a > 16  ou  11 + a < -16, de onde tiramos finalmente:
a > 5  ou a < -27 , que é a resposta do problema proposto.

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 16 de maio de 2008  

PS.:(post scriptum): Viva o FLUMINENSE - candidato a melhor time do mundo! Citando o grande escritor e dramaturgo Nelson Rodrigues (in memorian) , diríamos que mesmo calçando as sandálias da humildade, não poderíamos concluir outra coisa!
O FLUMINENSE infelizmente perdeu (nos pênaltis) para a LDU do Equador em 02 de julho de 2008.É triste, mas é verdade! Nos pênaltis...; afinal, o que é um pênalti?

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