| Cardano + Tartaglia: análise de uma equação do terceiro grau vinda do Piauí |
Seja a equação polinomial em x, dada por x3 +
3x2 – 9x + a = 0, onde a
é um número real. Pede-se determinar os valores de a,
de modo que a equação admita uma e somente uma raiz real.
Notas:
I - este problema foi enviado para solução
por um visitante do site, de
Teresina – PI.
II - recomendamos revisar Equações Algébricas e Módulo
Solução:
Vamos inicialmente fazer uma mudança de variável, colocando x = y + m, onde y
será a nova variável e m um número
real. Substituindo, fica:
(y + m)3 + 3(y + m)2 – 9(y + m) + a = 0
Vamos desenvolver a expressão acima:
y3 + 3y2m + 3ym2 + m3 +3(y2
+ 2ym + m2) – 9(y + m) + a = 0
Efetuando as operações indicadas,vem:
y3 + 3y2m + 3ym2 + m3 + 3y2
+ 6my + 3m2 – 9y – 9m + a = 0
Reduzindo os termos semelhantes, poderemos escrever:
y3 + (3m + 3)y2 + (3m2 + 6m – 9)y + m3
+ 3m2 – 9m + a = 0
Esta equação em y é a transformada da equação dada, onde x = y + m. Qual o
motivo para que eu fizesse esta transformação? Trata-se do seguinte: se o
termo de segundo grau for nulo, obteremos uma equação do tipo y3 +
py + q = 0 , cuja solução é conhecida, através da fórmula de
Cardano-Tartaglia, a qual será apresentada na seqüência da solução.
Notas:
a) Niccolo Fontana (Tartaglia) – matemático italiano / 1500 - 1557.
b) Girolamo Cardano – matemático italiano / 1501 – 1576.
Retomemos a questão:
Fazendo o coeficiente do termo do segundo grau da equação obtida acima, igual
a zero, fica: 3m + 3 = 0, de onde tiramos m
= -1. Substituindo o valor de m
naquela equação, obteremos:
y3 + [3(-1) + 3]y2 + [3(-1)2 + 6(-1) – 9]y +
(-1)3 + 3(-1)2 -9(-1) + a = 0
Simplificando, vem:
y3 – 12y + (11 + a) = 0
Ora, temos agora uma equação do tipo y3 + py + q = 0 onde p
= - 12 e q = 11 + a.
Vamos utilizar a fórmula de Tartaglia-Cardano para a solução da equação
y3 + py + q = 0 :
Lembrando que p = -12 e q = 11 + a, vem após as substituições:
Ou na sua forma equivalente:
Agora, observe bem os termos sob o radical de índice 2. Para
que y seja um número real, deveremos ter:
[(11 + a) / 2]2 – 64 ≥
0
Nota: se a expressão sob o radical de índice
2 for igual a zero, a equação terá 3 raízes reais, sendo duas
delas iguais entre si ; se for menor do que zero, serão três raízes
reais, porém, distintas entre si. Como queremos apenas uma e somente uma
raiz real, vamos considerar apenas a desigualdade > (maior do que).
Observe que uma equação do terceiro grau admitirá sempre três raízes em
duas situações excludentes: ou
três raízes reais
ou uma raiz real
e duas raízes complexas.
Então, vem:
[(11 + a) / 2]2 >
64 ou, de outra forma equivalente: (11 + a)2 / 4 > 64
Multiplicando ambos os membros por 4 (para eliminar o denominador 4), fica:
(11 + a)2 > 256
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obteremos a inequação modular:
|11 + a| > 16
Daí, poderemos escrever: 11 + a > 16 ou
11 + a < -16, de onde tiramos finalmente:
a > 5
ou a < -27 , que é a resposta do problema proposto.
PS.:(post scriptum): Viva o FLUMINENSE - candidato a melhor time do mundo! Citando o grande escritor e dramaturgo Nelson Rodrigues (in memorian) , diríamos que mesmo calçando as sandálias da humildade, não poderíamos concluir outra coisa!
O FLUMINENSE infelizmente perdeu (nos pênaltis) para a LDU do Equador em 02 de julho de 2008.É triste, mas é verdade! Nos pênaltis...; afinal, o que é um pênalti?