Tranformações Afins na Reta I

1  INTRODUÇÃO

Genericamente, entenderemos por transformação afim na reta, aquela definida pela equação x' = ax + b, onde a ¹ 0. 
Entre as transformações geométricas usuais identificamos a translação, a simetria e a homotetia, assuntos que serão desenvolvidos aqui neste texto. Para o entendimento deste assunto, entretanto, é fundamental revisar o conceito de vetor, o que faremos agora, não obstante ser um assunto por demais visto nos cursos regulares de Física.

Nota: consta que o termo AFIM, foi introduzido por Leonhard Euler, (grande matemático suíço - 1707/1783), o primeiro a estudar tópicos avançados da Geometria Afim, no século XVIII.

2  VETOR

Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.

Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por tres aspectos bastante definidos:

• comprimento (denominado módulo)
• direção
• sentido (de A para B)

Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados equipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB.
Assim, a idéia de vetor nos levaria a uma representação do tipo:

Na prática, para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados que o compõe. Guarde esta idéia, pois ela é importante!

Sendo u um vetor genérico, o representaremos pelo símbolo:

3  TRANSLAÇÃO NA RETA

Seja r uma reta e u um vetor em r .

Observe que o comprimento do vetor u é igual a 5 = 7 -2, mas a sua medida algébrica é igual - 5 , já que o seu sentido é contrário ao sentido positivo da reta.
Sendo P um ponto da reta de abcissa x, uma translação de vetor u na reta, levaria a um ponto P' de abcissa x' dado por x'= x + u, onde u é a medida algébrica do vetor u.
Observe que a translação é uma transformação afim do tipo definido no item 1 acima, onde a = 1 e b = u.

Exemplos:

a) Qual o transformado do ponto de abcissa 3 por uma translação de vetor 5?
Resposta: x' = 3+5 = 8. Portanto, o ponto na reta de abcissa 8 é o transformado do ponto de abcissa 3, pela translação de vetor 5.

b) Qual o transformado do ponto de abcissa 2 por uma translação de vetor -10?
Resposta: x' = 2 - 10 = -8.

c) Considere agora o segmento AB onde x_A = 3 e x_B = 7. Qual o transformado do segmento AB por uma translação de vetor 2?

Teríamos: x'_A = 3+2 = 5 e x'_B = 7+2 = 9. Portanto, o transformado do segmento AB de abcissas 3 e 2 é o novo segmento A'B' de abcissas 5 e 9. Observe que o comprimento do segmento AB 
(7 - 3 = 4) continuou inalterado no seu transformado A'B' cujo comprimento é igual a 9 - 5 = 4. A distancia entre os pontos A e B pois, foi conservada pela translação. Dizemos então que a TRANSLAÇÃO é uma transformação ISOMÉTRICA, ou seja, é uma transformação que conserva as distancias.

3.1 - Composição de translações

Sejam T₁ e T₂, duas translações de vetores u e v respectivamente:
Temos: T₁ = x + u e T₂ = x + v
A composição das translações T₁ e T₂ ( T₁ o T₂ ) resultaria:
T₁o T₂ (x) = T₁(T₂(x)) = T₁(x+v) = (x+v) + u = x + (u+v).
Concluímos pois que a composição de duas translações resulta numa nova translação, cujo vetor translação é a soma dos vetores translação de cada uma delas.

Podemos concluir facilmente o que segue:

a) a composição de translações, é uma nova translação, ou seja o conjunto das translações goza da propriedade de FECHAMENTO para a operação "o" - chamada 'composição'.

b) a composição de translações goza da propriedade associativa, ou seja:
T₁o(T₂ o T₃) = (T₁ o T₂)o T₃

c) Se considerarmos uma translação de vetor nulo, ou seja a translação que
leva um ponto em si mesmo, teremos x' = x + 0 = 0 + x = x, ou seja, sendo T_o esta translação de vetor nulo, podemos concluir que To T_o = T e, portanto, a composição de translações goza da propriedade da existência do ELEMENTO NEUTRO.

d) É também fácil demonstrar que a composição de translações goza da propriedade comutativa ou seja T₁oT₂ = T₂ o T₁.

e) Para toda translação de vetor u podemos considerar outra translação de
vetor -u, tal que a composição delas seja igual a uma translação de vetor nulo.
Seja T₁ = x+u e T₂ = x - u.
É óbvio que T₁ o T₂ = T₂ o T₁ = x = x+0 (translação de vetor nulo).

Dizemos então que a composição de translações goza da propriedade da existência do ELEMENTO SIMÉTRICO (ou ELEMENTO INVERSO).

Portanto, como o conjunto das translações na reta goza das propriedades ASSOCIATIVA, FECHAMENTO, ELEMENTO NEUTRO e EXISTÊNCIA DO INVERSO (propriedades b, a, c e e respectivamente), dizemos que o conjunto das translações na reta tem estrutura de GRUPO em relação à operação 'composição' ("o").

Como além das propriedades acima, ainda é válida a operação comutativa (item d acima ) dizemos que o GRUPO é COMUTATIVO ou ABELIANO.

Observação: Abeliano em homenagem a Abel (Niels Henrik Abel , matemático norueguês que nasceu em 05/08/1802 e faleceu em 06/04/1829, vitimado pela tuberculose, aos 27 anos!).

Paulo Marques, Feira de Santana - Bahia - 11 de março de 1995.

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