Dois problemas, duas soluções e duas propostas imperdíveis

1 - Para produzir uma peça, uma indústria gasta $1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de $4000,00 independente da quantidade produzida. O preço de venda é de $2,00 por unidade. O número mínimo de peças que devem ser vendidas para que a indústria tenha lucro é:
a) 3000
b) 3010
c) 4999
d) 4010
e) 5001

Solução:

Sendo C o custo de produção de n peças, pelo enunciado poderemos escrever:
C = 1,20n + 4000

Sendo V = o preço de venda de n peças, teremos V = 2n .
O lucro L será dado evidentemente por L = V – C .
Para que haja lucro deveremos ter L = V – C > 0.
Substituindo C e V pelos valores conhecidos, ou seja: C = 1,20n + 4000 e V = 2n, vem:
2n – (1,20n + 4000) > 0. Daí vem que 2n – 1,20n – 4000 > 0.
Portanto, 0,80n – 4000 > 0 ou 0,80n > 4000, de onde tiramos n > 4000 / 0,8 , ou seja,
n > 4000,0 / 0,8 que é equivalente a n > 40000 / 8 \ n > 5000.
Observe que para n = 5000 peças, o lucro L será zero, pois teremos: V = 2n = 2.5000 = 10000 e
C = 1,20n + 4000 = 1,20.5000 + 4000 = 10000. Portanto, para que a indústria tenha lucro, o número mínimo de peças vendidas deve ser 5001, o que nos leva tranqüilamente à alternativa E.

2 – Seja g(x) uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros, assim definida:
g(n) = – 1 se n é par.
g(n) = 3n se n é ímpar.
Nestas condições, dada a soma A = g(1) + g(2) + g(3) + g(4) + g(5) + ...+ g(2k – 1) + g(2k) para k inteiro, o valor de A + k é igual a:
a) 2k³
b) 3k³
c) 3k²
d) 2k²
e) 3k

Solução:

Temos: A = g(1) + g(2) + g(3) + g(4) + g(5) + ...+ g(2k – 1) + g(2k).
Observe que a soma A possui 2k parcelas. Esta soma A poderá ser reescrita como:
A = S₁ + S₂ = [g(2) + g(4) + ... + g(2k)] + [g(1) + g(3) + g(5) + ... g(2k – 1)] , onde:
S₁ = g(2) + g(4) + ... + g(2k) . Repare que a soma S₁ possui k parcelas.
S₂ = g(1) + g(3) + g(5) + ... g(2k – 1). Repare que a soma S₂ possui também k parcelas.

Do enunciado, temos que g(2) = g(4) = g(6) = ... = g(2k) = – 1, já que n = 2, 4, 6, ... , 2k são números pares. Portanto, S₁ = (-1) + (-1) + ... + (-1) , uma soma com k parcelas iguais a (– 1), e, portanto igual a k(-1) = – k. Então, S₁ = – k .

Também do enunciado, vem que:
g(1) = 3.1 = 3, g(3) = 3.3 = 9, g(5) = 3.5 = 15, ... , g(2k – 1) = 3(2k – 1) = 6k – 3.
A soma S₂ é então igual a :
S₂ = 3 + 9 + 15 + ... + (6k – 3).
Vemos que a soma S₂ é igual à soma dos k primeiros termos (lembre-se que vimos acima que S₂ possui k parcelas) de uma Progressão Aritmética - PA de primeiro termo a₁ = 3, razão r = 6 e último termo
a_k = 6k – 3.
Usando a conhecida fórmula da soma dos termos de uma PA : S = [(a₁ + a_n).n] / 2, vem:
S₂ = 3 + 9 + 15 + ... + 6k – 3 = [(3 + 6k – 3 ) . k] / 2 = [(6k) . k] / 2 = 6k² / 2 = 3k²

Portanto, a soma A procurada será dada por A = S₁ + S₂ = – k + 3k² = 3k² – k, e, portanto,
A + k = 3k² – k + k = 3k² , o que nos leva à alternativa C.

Agora resolva estes:

a) Para produzir uma peça, uma indústria gasta $1,50 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de $3000,00 independente da quantidade produzida. O preço de venda é de $3,00 por unidade. Pede-se determinar o número mínimo de peças que devem ser vendidas para que a indústria tenha lucro.
Resposta: 2001

b) Seja f(x) uma função cujo domínio é o conjunto Z (dos números inteiros), assim definida:
f(n) = – 2 se n é par.
f(n) = 5n se n é ímpar.
Nestas condições, dada a soma B = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + ...+ f(2k – 1) + f(2k) para k inteiro, o valor de B + 2k é igual a:
Resposta: 5k²

Paulo Marques, Feira de Santana - BA , 04 de junho de 2004.
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