Três problemas de média

Média Aritmética Simples - MAS: Dados  n  valores x1, x2, x3, ... , xn , chama-se média aritmética destes n valores, ao valor 
M = (x1 + x2 + x3 + ... + xn) / n

Exemplo: qual a média aritmética de 5, 7, 6 e 8?
M = (5 + 7 + 6 + 8) / 4 = 6,5.

Média Aritmética Ponderada - MAP: Às vezes, é importante atribuir-se pesos diferenciados a cada valor, para o cálculo da média e, neste caso, a média recebe o nome de média ponderada.
Assim, dados n valores  x1, x2, x3, ... , xn  aos quais são atribuídos os pesos k1, k2, k3, ... , kn  respectivamente, a média ponderada destes n valores será dada por:

Mp = (x1.k1 + x2.k2 + x3.k3 + ... xn.kn) / (k1 + k2 + k3 + ... + kn)

Exemplo: Se os valores 10, 8 e 6 possuem pesos 4, 3 e 2 respectivamente, a média ponderada destes valores será igual a:

Mp = (10.4 + 8.3 + 6.2) / (4 + 3 + 2) = 76 / 9 = 8,44.

Nota: Fazendo k1 = k2 = k3 = ... = kn = 1 na fórmula acima, obteremos:
Mp = (x1.1 + x2.1 + x3.1 + ... + xn.1) / (1 + 1 + 1 + ... + 1 )
Ora, no denominador temos o peso 1 somado n vezes e, portanto, igual a n.
Assim, teremos:
Mp = (x1 + x2 + x3 + ... + xn) / n, que é a fórmula da média aritmética. Portanto, a média aritmética simples é um caso particular da média aritmética ponderada, onde os pesos dos valores x1, x2, ... xn, são  unitários, ou seja, igual à unidade.
 

1 – FGV – SP)  Em uma classe com 20 rapazes e 30 moças, foi realizada uma prova; a média dos rapazes foi 8 e a das moças, 7.
A média da classe foi:
a) 7,5
b) 7,4
c) 7,6
d) 7,55
e) 7,45

Solução:

Sejam r1, r2, r3, ... , r20 as notas dos rapazes e m1, m2, m3, ... , m30 as notas das moças.
Podemos escrever para as médias:

Rapazes: (r1 + r2 + r3 + ... + r20) / 20 = 8  \ r1 + r2 + r3 + ... + r20 = 20.8 = 160
Moças: (m1 + m2 + m3 + ... + m30) / 30 = 7  \ m1 + m2 + m3 + ... + m30 = 30.7 = 210

Nota: Lembre-se que se  a / b = k  então  a = b.k, para b diferente de zero.

A média global M da classe será obtida, dividindo-se a soma de todas as notas (rapazes mais moças), dividido pelo número total de pessoas (20 + 30 = 50).

Logo, teremos:

M = [(r1 + r2 + r3 + ... + r20) + (m1 + m2 + m3 + ... + m30)] / (20 + 30)
Substituindo os valores calculados acima, vem:
M = (160 + 210) / 50 = 370 / 50 = 37 / 5 = 7,4.
Portanto, (b) é a alternativa correta.

2 – U. F. Santa Maria – RS) A velocidade média em km/h é definida como o quociente do espaço percorrido, em quilômetros, pelo tempo gasto para percorre-lo, em horas. Um automóvel percorreu a distância entre duas cidades, com velocidade média de 60 km/h e fez a viagem de regresso com velocidade média de 40 km/h. Então, pode-se afirmar que a velocidade média do percurso total, ida e volta, foi de:
a) 48 km/h
b) 50 km/h
c) 52 km/h
d) 60 km/h
e) 100 km/h

Solução:

Se um móvel percorrer a distância  s num intervalo de tempo Dt  a sua velocidade média será dada por Vm = s / Dt .
Na ida, teremos: 60 = s / Dt1 onde  Dt1 é o tempo gasto no percurso.
Na volta, teremos: 40 = s / Dt2 onde Dt2 é o tempo gasto no percurso.

Da primeira equação acima, tiramos: Dt1 = s / 60
Da segunda equação acima, tiramos: Dt2 = s / 40

Para o cálculo da velocidade média no percurso total de ida e volta, teremos que dividir o percurso total pelo tempo total ou seja:

Percurso total = s + s = 2s  (ida e volta).
Tempo total = Dt1 + Dt2 = (s / 60)  +  (s / 40) (tempo de ida mais o tempo de volta).

Logo, a velocidade média Vm será dada por:

Vm = (2s) / [(s / 60) + (s / 40)]

Efetuando a soma do denominador, vem:
s / 60 + s / 40  = 2s / 120  +  3s / 120 = 5s / 120 = s / 24

Substituindo, vem:

Vm = (2s) / (s / 24) = 2s . 24 / s = 48.

Portanto, a velocidade média no percurso foi igual a 48 km/h e, portanto, alternativa A.

3 – PUC – MG) No concurso para o Tribunal de Alçada, os candidatos fizeram provas de Português, Conhecimentos Gerais e Direito, respectivamente com pesos 2, 4 e 6. Sabendo-se que cada prova teve o valor de 100 pontos, o candidato que obteve 68 em Português, 80 em Conhecimentos Gerais e 50 em Direito, teve média:
a) 53
b) 56
c) 63
d) 66
e) 72

Solução:

A solução é imediata:

Mp = (68.2 + 80.4 + 50.6) / (2 + 4 + 6) = (136 + 320 + 300) / 12 = 63
Portanto, a alternativa correta é a de letra C.
 
Paulo Marques, 02 de setembro de 2001 – Feira de Santana - BA

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