Uma questão trabalhosa no concurso da Caixa Econômica Federal em junho 2008 Escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111, quantas vezes o algarismo 1 é escrito?
A) 289
B) 300
C) 420
D) 448
E) 481Solução: observe que os números serão das formas:
Com um algarismo: 1
Com dois algarismos:
1 _ : a segunda posição poderá ser preenchida de 10 maneiras distintas (de 0 a 9)
_ 1 : a primeira posição poderá ser preenchida de 9 maneiras distintas (de 1 a 9)
Então, de 1 a 99, teremos um total de 10 + 9 + 1 = 20 números onde comparecem o algarismo 1.
Com três algarismos:
1 _ _ : a segunda posição poderá ser preenchida de 10 maneiras distintas (de 0 a 9) e a terceira posição poderá ser preenchida também de 10 maneiras distintas. Portanto, neste caso, (pelo princípio fundamental da contagem), teremos um total de 1.10.10 = 100 maneiras distintas.
_ 1 _ : a primeira posição poderá ser preenchida de 9 maneiras distintas (de 1 a 9) e a terceira posição, de 10 maneiras distintas
(de 0 a 9). Então, (pelo princípio fundamental da contagem), teremos 9.1.10 = 90 maneiras distintas.
_ _ 1 : a primeira posição poderá ser preenchida de 9 maneiras distintas (de 1 a 9) e a segunda posição, de 10 maneiras distintas. Portanto, pelo ( princípio fundamental da contagem ) teremos 9.10.1 = 90 maneiras distintas.
Então, de 100 a 999, teremos um total de 100 + 90 + 90 = 280 números onde comparecem o algarismo 1.
Em resumo, como já encontramos 20 números de 1 a 99, poderemos concluir que de 1 a 999, o algarismo 1 comparece 20 + 280 = 300 vezes. Observe que a esta altura (do campeonato) as alternativas A e B já estariam eliminadas.
Só falta agora (ainda!), a análise dos números de 1000 a 1111. Vamos analisá-los:Observe o que segue:
Nas sequencias
1000 a 1009 : o algarismo 1 comparece 11 vezes.
1010 a 1019 : o algarismo 1 comparece 21 vezes.
Agora observe novamente que:
1020 a 1029 : o algarismo 1 comparece 11 vezes.
1030 a 1039 : o algarismo 1 comparece 11 vezes.
e assim sucessivamente, até 1099.
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1090 a 1099 : o algarismo 1 comparece 11 vezes.
Ora, de 1020 a 1090, existem 8 sequencias pois a Progressão Aritmética de razão 10 :: (1020, 1030, 1040, 1050, 1060, 1070, 1080, 1090) possui 8 termos. Então, como em cada sequencia o algarismo 1 comparece 11 vezes, teremos no total 8.11 = 88 vezes.
Então, até agora, vale a soma: 300 + 11 + 21 + 88 = 420
Nota: olhando as alternativas, você percebe que a alternativa C (420) não pode ser a verdadeira, pois ainda faltam algarismos a contar. Só restam duas alternativas: D e E; agora, sua probabilidade de acertar no "chute" é de 1 em 2 ou seja, 1/2 = 0,50 = 50%! A coisa melhorou, sô! (neste sotaque mineiro a coisa vai longe)!
Quase que eu perdia a conta! rarará ... mas estamos agora faltando analisar a partir de 1100!
1100 a 1109 : o algarismo 1 comparece 21 vezes.
1110 a 1111 : o algarismo 1 comparece 7 vezes, ou seja 28 vezes.
Então, concluímos finalmente que de 1 a 1111, o algarismo 1 comparece 420 + 28 = 448 vezes.
Portanto, isto nos leva tranquilamente (e bota tranquilo nisto!) à alternativa correta: D.
Comentário: p'ra que tanta perversidade num concurso de primeiro emprego para uma grande parte dos brasileiros? A questão toma muito tempo para a solução, o que prejudica sobremaneira àqueles que se prepararam para o concurso; a lógica é simples: quem não estudou, "chuta" e vai em frente, podendo até acertar; quem estudou vai tentar resolver e perde muito tempo numa só questão, reduzindo o tempo disponível para as outras. Resultado: o objetivo de selecionar os melhores fica comprometido.
Paulo Marques, 17/11/2008 - Feira de Santana - BA - revisado em 23 de abril 2010.