Qual o número do meu telefone?

Vejam o e-mail que recebi em 2010:

" Não é que dá certo???
Cálculo de gênio ou de louco? Faça o teste  e se puder, EXPLIQUE-ME COMO O CARA BOLOU ESSA MALUQUICE, porque tem coisas que nem PITÁGORAS explica...
Pegue uma calculadora; não dá pra fazer de cabeça...
1 - Digite os 4 primeiros números de seu telefone;
2 - multiplique por 80;
3 - some 1;
4 - multiplique por 250;
5 - some com os 4 últimos números do mesmo telefone;
6 - some com os 4 últimos números do mesmo telefone de novo;
7 - diminua 250;
8 - divida por 2.
Reconhece o resultado?
Eu tiro o chapéu... alguém se habilita a explicar? "

Dito isto, vamos à  explicação: 

O aparente mistério é apenas uma aplicação do Princípio do Valor Posicional, o qual relembraremos a seguir:

Já conhecemos o sistema de numeração decimal ou de base 10, que utiliza os 10 algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para representação dos números reais.
Um aspecto muito importante da representação de um número ou seja, do seu numeral, é o VALOR POSICIONAL dos algarismos que o compõe. Assim, por exemplo, no número 234 – duzentos e trinta e quatro – o algarismo 2 possui valor posicional 200, o algarismo 3 possui valor posicional 30 e o algarismo 4, possui valor posicional 4.
Podemos escrever:
234 = 200 + 30 + 4
234 = 2.100 + 3.10 + 4.1
234 = 2.10² + 3.10¹ + 4.10⁰

Analogamente, poderemos citar outros exemplos:
6542 = 6000 + 500 + 40 + 2
6542 = 6.1000 + 5.100 + 4.10 + 2
6542 = 6.10³ + 5.10² + 4.10¹ + 2.10⁰

508 = 500 + 0 + 8
508 = 5.100 + 0.10 + 8
508 = 5.10² + 0.10¹ + 8.10⁰

Voltando à questão do sistema de numeração decimal, um número de numeral (abcd...j) composto por n algarismos
a, b, c, ..., j pode ser representado genericamente por:

(abcd...j) = a.10^n-1 + b.10^n-2 + c.10^n-3 + ... + j.10⁰  onde (abcd...j) possui n algarismos.

Exemplos:

A) Seja o número duzentos e cinquenta e oito, cujo numeral no sistema decimal é 258. Poderemos escrever:
258 = 2.100 + 5.10 + 8.1 = 2.10² + 5.10¹ + 8.10⁰

B) Seja o número vinte e cinco mil e duzentos, cujo numeral é 25200. Poderemos escrever:
25200 = 2.10⁴ + 5.10³ + 2.10² + 0.10¹ + 0.10⁰

C) Seja o número treze milhões duzentos e quarenta e tres mil trezentos e vinte e cinco, cujo numeral no sistema decimal é 
13 243 325. Poderemos escrever:
13243325 = 1.10⁷ + 3.10⁶ + 2.10⁵ + 4.10⁴ + 3.10³ + 3.10² + 2.10¹ + 5.10⁰ 

Posto isto, vamos desvendar o aparente mistério proposto no e-mail acima.

Considere que um telefone tenha número (abcd xyzw). O número - com 8 algarismos - poderia ser escrito no sistema decimal como ab cdx yzw (Exemplo: 7654 3210 = 76 543  210 ou seja: 76 milhões 543 mil e 210 unidades)
Nota: ninguém passa o número do seu telefone desta maneira, claro! Seria considerado um estúpido, quem dissesse: o número do meu telefone é 12 milhões 345 mil e 678 unidades, para o número de telefone 1234 5678. (rarará...). 

Ora, o número abcd pode ser escrito como a.10³ + b.10² + c.10 + d e o número xyzw como x.10³ + y.10² + z.10 + w

Vamos agora seguir as instruções dadas:

1 - Digite os 4 primeiros números de seu telefone;
abcd

2 - multiplique por 80;
80(a.10³ + b.10² + c.10 + d) = 80.10³ .a + 80.10² .b + 80.10 . c  + 80.d

3 - some 1;
80.10³ .a + 80.10² .b + 80.10 . c  + 80.d + 1

4 - multiplique por 250;
250(80.10³ .a + 80.10² .b + 80.10 . c  + 80.d + 1)
20000.10³ .a + 20000.10² .b + 20000.10.c + 20000.d + 250

5 - some com os 4 últimos números do mesmo telefone;
20000.10³ .a + 20000.10² .b + 20000.10.c + 20000.d + 250 + x.10³ + y.10² + z.10 + w

6 - some com os 4 últimos números do mesmo telefone de novo;
20000.10³ .a + 20000.10² .b + 20000.10.c + 20000.d + 250 + x.10³ + y.10² + z.10 + w + x.10³ + y.10² + z.10 + w
que simplificando fica:
20000.10³ .a + 20000.10² .b + 20000.10.c + 20000.d + 250 + 2(x.10³ + y.10² + z.10 + w)

7 - diminua 250;
20000.10³ .a + 20000.10² .b + 20000.10.c + 20000.d + 250 + 2(x.10³ + y.10² + z.10 + w) - 250
simplificando, fica:
20000.10³ .a + 20000.10² .b + 20000.10.c + 20000.d + 2(x.10³ + y.10² + z.10 + w)

8 - divida por 2.
o resultado será:
10000.10³ .a + 10000.10² .b + 10000.10.c + 10000.d + x.10³ + y.10² + z.10 + w
Ora, poderemos escrever o número acima como:
10⁷ .a + 10⁶ .b + 10⁵.c + 10⁴.d  + x.10³ + y.10² + z.10 + w
arrumando convenientemente, fica:
a.10⁷  + b.10⁶ + c.10⁵ + d.10⁴d + x.10³ + y.10² + z.10 + w

Senhoras e senhores: este número - pelo  princípio do valor posicional visto acima - é igual ao número  ab cdx yzw  escrito na forma decimal, que corresponde ao número de telefone abcd xyzw. 
Mas, este número é o do telefone visto no início da explicação.  Logo, está explicado!
Portanto, o autor desta brincadeira (o qual merece a nossa admiração, pela criatividade)  não é gênio, nem é louco: ele apenas deve gostar (e saber) de Matemática!


Agora, prove o seguinte "mistério" que tem sido divulgado nas redes sociais:
A Bíblia tem 66 livros. Deste número, tire a sua idade e depois adicione 50. O resultado será o ano do seu nascimento!

Notas:
1 - o ano do nascimento será explicitado com dois dígitos;
2 - a veracidade será provada seguindo o mesmo princípio que usei acima ou seja, o Princípio do Valor Posicional dos números num sistema de base 10.
3 - Se você não conseguir provar conforme orientei acima, mande um e-mail para paulogmarques@gmail.com , que responderei com prazer.

Paulo Marques, 25 de abril de 2010 – Feira de Santana – BA - editado em 05/11/2016.

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