Brinquedos

Tr�s irm�os, Eduardo, Felipe e Hugo, t�m somados 61 brinquedos. Alguns brinquedos pertencem somente a um deles, outros pertencem a dois irm�os e o restante aos tr�s.  Eduardo e Felipe possuem juntos 45 brinquedos; Eduardo e Hugo possuem 48 brinquedos e, Felipe e Hugo possuem juntos 49 brinquedos. Sabe-se que 5 brinquedos pertencem somente a Hugo e Eduardo e 8 brinquedos pertencem somente a Eduardo e Felipe. Quantos brinquedos Felipe e Hugo t�m em comum?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

Solu��o:

Nota: este problema (de uma prova de concurso - P. Civil - 2000) foi enviado por um visitante do site, pedindo a solu��o. Ei-la:

Veja a figura a seguir, onde x, y, z, w, r, s e t  representam número de elementos, sendo E, F e H os conjuntos de brinquedos de Eduardo, Felipe e Hugo, respectivamente, onde:

x = n�mero de brinquedos que pertencem apenas a Eduardo
y = n�mero de brinquedos que pertencem apenas a Felipe
z = n�mero de brinquedo que pertencem apenas a Hugo
w = n�mero de brinquedos que pertencem aos tr�s (Eduardo, Felipe e Hugo)
r = n�mero de brinquedos que pertencem apenas a Eduardo e Hugo
s = n�mero de brinquedos que pertencem apenas a Eduardo e Felipe
t = n�mero de brinquedos que pertencem apenas a Hugo e Felipe

Nota:  o problema pede para determinar o n�mero de brinquedo que Felipe e Hugo possuem em comum. Olhando a figura abaixo, conclu�mos que precisamos calcular (w + t) , que � o n�mero de elementos da interse��o dos conjuntos H e F.

Do enunciado poderemos escrever o que segue: 

x + y + z + w + (r + s) + t = 61  (soma total do n�mero de brinquedos de Eduardo, Felipe e Hugo)

x + y +   + w + (r + s) + t = 45  (soma do n�mero de brinquedos de Eduardo e Felipe)

x +    + z + w + (r + s) + t = 48  (soma do n�mero de brinquedos de Eduardo e Hugo)

      y + z + w + (r + s) + t = 49  (soma do n�mero de brinquedos de Felipe e Hugo)

Observe que no enunciado � dito que:
a) 5 brinquedos pertencem somente a Hugo e Eduardo; portanto, r = 5.
b) 8 brinquedos pertencem somente a Eduardo e Felipe; portanto, s = 8.
Ent�o, r+s = 13

Substituindo esse valor  nas igualdades acima teremos:

x + y + z + (w + t) = 61 - 13 = 48
x + y +    + (w + t) = 45 - 13 = 32
x +    + z + (w + t) = 48 - 13 = 35
      y + z + (w + t) = 49 - 13 = 36

Como j� vimos acima, desejamos calcular o valor de w + t . Fazendo w + t = K, teremos:

x + y + z + K = 48    (eq.1)
x + y +    + K = 32   (eq.2)
x +    + z + K = 35   (eq.3)
      y + z + K = 36    (eq.4)

Agora, basta resolver convenientemente o sistema acima; neste caso, entendo que o m�todo de substitui��o � o mais indicado. Vejamos:

Da (eq.4) tiramos: y + z = 36 - K
Substituindo na (eq.1), fica: x + 36 - K + K = 48, de onde vem x = 48 - 36 = 12

Substituindo o valor conhecido de x e simplificando, fica:

y + z + K = 48 - 12 = 36
y + K = 32 - 12 = 20
z + K = 35 - 12 = 23

Em resumo:

y + z + K = 36
y + K = 20
z + K = 23

Substituindo o valor de z + K na primeira igualdade, vem: y + 23 = 36, de onde tiramos y = 13.

Substituindo o valor de y + K na primeira igualdade, vem: 20 + z = 36, de onde tiramos z = 16

Ora, z + K = 23; ent�o, 16 + K = 23, de onde vem finalmente K = 23 - 16 = 7, ou seja, K = 7, o que nos leva tranquilamente � alternativa E.

Agora, resolva este, similar: 

Tr�s irm�os, Eduardo, Felipe e Hugo, t�m somados 61 brinquedos. Alguns brinquedos pertencem somente a um deles, outros pertencem a dois irm�os e o restante aos tr�s.  Eduardo e Felipe possuem juntos 45 brinquedos; Eduardo e Hugo possuem 48 brinquedos e, Felipe e Hugo possuem juntos 49 brinquedos. Sabe-se que 5 brinquedos pertencem somente a Hugo e Eduardo e 8 brinquedos pertencem somente a Eduardo e Felipe. Quantos brinquedos Felipe e Hugo t�m em comum?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
*e) 7

Nota: o problema � o mesmo mas, repeti apenas com o objetivo de voc� pegar caneta e papel e resolver voc� mesmo. Apenas lendo a resposta, voc� ter� a falsa impress�o que entendeu mas, s� colocando "a m�o na massa" o entendimento ser� pleno.

Paulo Marques, 07 de novembro de 2011 - Feira de Santana - BA.

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