Vida no Lago

Durante o processo de repovoamento de um lago formado após a construção de uma usina hidroelétrica, foram feitos dois levantamentos com intervalo de um ano, registrando-se as quantidades de três espécies de peixe: pintados, dourados e tucunarés.
 
No primeiro levantamento foi contado um total de 180 peixes, com a quantidade de tucunarés igual ao dobro de pintados.

O segundo levantamento revelou que a população de tucunarés havia duplicado, a população de pintados havia crescido em 40%,  mas a quantidade de dourados havia sido reduzida a um terço da população inicial . 

Sabendo-se que no segundo levantamento a população de pintados correspondia a um quarto da quantidade total, quantos dourados foram registrados no primeiro levantamento?

Notas: 
1) lago - porção de água cercada de terras;
2) ilha - porção de terra cercada de águas; uma ilha seria, por assim dizer, o inverso de um lago! eh eh ... 
3) este problema foi enviado por um visitante do site, solicitando a solução. Ei-la:

Solução:

Seja p a quantidade de pintados, d a quantidade de dourados e t a quantidade de tucunarés presente no lago quando do primeiro levantamento. Com base no enunciado, poderemos escrever:

p + d + t = 180 e  t = 2p, de onde vem por mera substituição: p + d + 2p = 180 -------> 3p + d = 180   (equação 1)

Sejam p', d' e t' as quantidades de pintados, dourados e tucunarés no lago, por ocasião do segundo levantamento. Ainda de acordo com o enunciado, poderemos escrever as seguintes igualdades:

p' = 1,40.p
t'  = 2t
d' = (1/3).d        

Seja x o número total de peixes no lago no segundo levantamento; é lícito escrever: x = p' + t' + d' ou substituindo os valores dados nas equações acima, teremos:

x = 1,40p + 2t + (1/3)d     (equação 2)

Mas, como foi dito que no segundo levantamento "a população de pintados correspondia a um quarto da quantidade total" , poderemos escrever:

p' = x/4

Substituindo o valor de p', fica:

1,40p = x/4 (equação 3)

Em resumo, temos o seguinte sistema:

3p + d = 180                     (equação 1)
x = 1,40p + 2t + (1/3)d      (equação 2)
1,40p = x/4                        (equação 3)

Basta agora resolver o sistema acima e achar o valor de d (número de dourados encontrados no primeiro levantamento).
Vamos fazê-lo pelo método de substituição.

A equação 3 pode ser reescrita como: x = 4.1,40p = 5,60p

Multiplicando ambos os membros da equação 2 por 3, fica: 3x = 4,20p + 6t + d

Substituindo os valores de x, t e d na equação anterior fica: 3(5,60p) = 4,20p + 6.(2p) + (180 - 3p)
16,80p = 4,20p + 12p + 180 - 3p
16,80p - 4,20p -12p +3p = 180
19,80p - 16,20p = 180
3,60p = 180 ------------> p = 180/3,60 = 50

E como 3p + d = 180, vem que d = 180 - 3p = 180 - 3.50 = 180 - 150 = 30
Logo, d = 30, o que significa que existiam 30 dourados no lago, quando do primeiro levantamento.
Resposta: 30 dourados.

Agora resolva este: Considerando-se os dados do problema anterior, qual o incremento percentual anual de peixes no lago?
Resposta: 55,56%
Paulo Marques, 21 de março de 2012 - Feira de Santana - BA

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