Exercícios Resolvidos XI

1 – Sabe-se que a função polinomial f(x) de grau 3, admite como raízes, os números
x1 = 1, x2 = 2 e x3. Sobre a raiz x3, podemos afirmar:

a) pode ser um número complexo
b) é necessariamente, um número natural
c) é necessariamente um número inteiro
d) é necessariamente um número irracional
e) é um número real

SOLUÇÃO:
Ora, o número de raízes complexas de uma equação algébrica é necessariamente um número par, já que, se a+bi for raiz, então o conjugado a-bi também será raiz.
Portanto, se a terceira raiz da equação não pode ser um número complexo, então ela será necessariamente um número real, o que nos leva à alternativa E.

2 – FUVEST 94 – Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual o total de filhos e filhas do casal?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

SOLUÇÃO:
Trata-se de um problema simples de sistemas de equações do primeiro grau. Vejamos:
Seja x o número de filhos e y o número de filhas.

É óbvio que um filho qualquer possui x –1 irmãos e y irmãs. OK?
É também óbvio, que uma filha qualquer possui y – 1 irmãs e x irmãos.
Pelo enunciado do problema, vem imediatamente que:

x – 1 = y ........................eq 1
x = 2(y – 1).....................eq 2

Uma vez armado o sistema acima, o problema ficou bem simples:
Teremos, substituindo o valor de x da eq 2 na eq 1:
2(y – 1) – 1 = y \ y = 3
Daí, substituindo o valor de y na eq 1, resulta: x = 4.
Portanto, a soma procurada vale: x + y = 4 + 3 = 7, o que nos leva tranqüilamente à alternativa E.

VERIFICAÇÃO:
Dados do problema:
a) Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs.
Realmente, sendo 4 filhos, cada um tem 3 irmãos, que é igual ao número de irmãs (y = 3 = n.º de filhas)

b) Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs.
Realmente, sendo 3 filhas, cada uma delas possui duas irmãs. O número de irmãos, sendo igual a 4 (x = 4 filhos), é exatamente o dobro do número de irmãs.

3 – Numa árvore pousam pássaros. Se pousarem dois pássaros em cada galho, fica um galho sem pássaros. Se pousar um pássaro em cada galho, fica um pássaro sem galho. Determine o número de pássaros e o número de galhos.

SOLUÇÃO:
Sendo g o número de galhos e p o número de pássaros, poderemos escrever:
2(g – 1) = p
g = p – 1
Resolvendo o sistema de equações acima, encontraremos:
P = 4 e g = 3. Portanto, são 4 pássaros e 3 galhos.

4 – FUVEST 96 – Qual dos cinco números abaixo relacionados, não é um divisor de 1015 ?

a) 25
b) 50
c) 64
d) 75
e) 250

SOLUÇÃO: Observe que:
25 = 52
50 = 2.25 = 2.52
64 = 26
75 = 3.25 = 3.52
250 = 25.10 = 52.10
Observe também que 10 é divisível por 2, por 5 e por 10, mas não é divisível por 3. Logo, a alternativa (D) que contém um não divisor de 10, é a solução do problema.

5 – Sabendo-se que x2 + 2y2 + 3xy + x + y = 20 e x + 2y = 3, determine o valor de x + y.

SOLUÇÃO:
Inicialmente, vamos fatorar o primeiro membro da expressão dada.
Teremos: (acompanhem com bastante atenção!)
x2 + 2y2 + 3xy + x + y =
x2 + y2 + y2 + 2xy + xy + x + y =
(x2 + 2xy + y2) + (y2 + xy + x + y) =
(x + y)2 + [y(x + y)] + (x + y) =
(x + y)2 + (x + y) (y + 1) =
(x + y) [(x + y) + (y + 1)] =
(x + y) (x + 2y + 1)

Portanto, (x + y) (x + 2y + 1) = 20
Como é dado que x + 2y = 3, substituindo, vem:
(x + y) (3 + 1) = 20 \ 4(x + y) = 20 e, finalmente vem que x + y = 5.

Paulo Marques , Feira de Santana - BA, 16 de setembro de 2001

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