Vestibulares do Passado I

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Questão 01 – Escola Fluminense de Engenharia – 1959

Para que valores de x a função abaixo é definida?

Solução:

Trata-se de determinar o domínio da função, ou seja, o conjunto dos valores de x para os quais a função existe. Lembrando que não existe divisão por zero e que raiz de índice par só existe como número real para valores positivos ou nulos, poderemos escrever a seguinte condição de existência para x, de modo a garantir que y seja um número real:
x – x² > 0
Colocando x em evidencia vem: x(1 – x) > 0
Esta é uma inequação produto . Vamos resolve-la?
Para estudar os sinais do produto, vamos construir a seguinte tabela:
Observe que x se anula para x = 0 e 1 – x se anula para x = 1. Logo:

0

1

X	-	+	+
1 – X	+	+	-
X(1 – X)	-	+	-

Observe que o produto x(1-x) é positivo no intervalo aberto (0,1).
Logo, a função está definida para 0< x< 1 ou seja, no intervalo (0,1).

Questão 02 – Escola de Química da Universidade de Pernambuco - 1954
Quantos múltiplos de 7 há entre 100 e 10000? Achar a sua soma.

Solução:  

Os múltiplos de 7, formam, é claro, uma progressão aritmética de razão 7.
Eis a progressão: (105, 112, 119, 126, ... , 9996)

Observe que 105 é o primeiro múltiplo de 7 maior do que 100 e 9996 é o menor múltiplo de 7 menor do que 10000.
Teremos então: 9996 = 105 + (n – 1) . 7
Em caso de dúvida, reveja o arquivo de PA – Progressão Aritmética

Resolvendo a equação do primeiro grau acima, você encontrará n = 1414.
Portanto, existem 1414 múltiplos de 7 entre 100 e 10000.

Agora, vamos ao cálculo da soma dos termos:
Primeiro termo = a₁ = 105
Último termo = a₁₄₁₄ = 9996
Número de termos = n = 1414
Pela fórmula da soma S dos n termos de uma PA, vem:

S = 1/2[(a₁ + a_n).n] . Portanto:

S = 1/2[(105 + 9996).1414] = 1/2(10101.1414) = 10101 . 707 = 7141407

Portanto, existem 1414 (um mil setecentos e quatorze) múltiplos de 7 entre 100 e 10000, e a soma de todos eles é igual a 7141407, ou seja sete milhões cento e quarenta e um mil e quatrocentos e sete unidades.

Paulo Marques, Feira de Santana - BA

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