Vestibulares do Passado II
Questão 01 – ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DA BAHIA – 1959
Escrever a equação de mais baixo grau possível com coeficientes inteiros, que admita as raízes 1, 0 e i.
Solução:
Sendo x1, x2, x3, ... , xn as n raízes (reais ou complexas) de uma equação de grau n, podemos escrever:
(x – x1).(x – x2).(x – x3). ... . (x – xn) = 0
Sabemos também que se o número complexo a + bi é raiz de uma equação algébrica, então o complexo conjugado a – bi também será raiz.
Assim, se a unidade imaginária i é raiz, conforme enunciado do problema, podemos afirmar que o seu conjugado ( - i ) também será raiz.
Logo, as raízes da equação do problema serão: x1 = 1, x2 = 0, x3 = i e x4 = - i.
Substituindo, vem:
(x – 1).(x – 0).(x – i).(x – [- i]) = 0. Desenvolvendo, vem:
(x – 1).x.(x – i).(x + i) = 0
Efetuando as operações indicadas, fica:
(x2 – x).(x2 – i2) = 0; mas, i2 = - 1, donde - i2 = +1. Logo,
(x2 – x).(x2 + 1) = 0
Multiplicando os dois binômios, vem:
x4 + x2 – x3 – x = 0
Portanto, a equação procurada é: x4 – x3 + x2 – x = 0.Questão 02 – UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO SUL – 1959
Indicar todas as raízes da equação 3x(x – 1)2 (x2 + 1) = 0.
Solução:
Revise Números Complexos se necessario.
Ora, se o produto A.B.C = 0, então A = 0 ou B = 0 ou C = 0.
Logo, deveremos ter: 3x = 0 ou (x – 1)2 = 0 ou x2 + 1 = 0.
Então:
3x = 0 Þ x = 0/3 = 0
(x – 1)2 = 0 Þ x –1 = 0 Þ x = 1 (raiz dupla, pois o grau é igual a 2)
x2 + 1 = 0 Þ x2 = -1 Þ x = i ou x = - i (i = unidade imaginária)
Portanto, o conjunto solução da equação dada será:
S = {0, 1, i, - i}.Paulo Marques, Feira de Santana - BA - 16/03/2000 - atualizado em 08/08/2004