Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposenta e é substituído por um professor de 22 anos.
Com isso, a média das idades dos professores diminuiu de 2 anos.
A idade do professor que se aposentou é, em anos:

a) 53
b) 54
c) 56
d) 58
e) 65

 Solução:

Sejam x₁, x₂, x₃,... , x₁₈ as idades dos professores  P₁ , P₂ , P₃ , ... , P₁₈ , respectivamente.
A média aritmética M dessas idades será igual a:

M = (x₁ + x₂ + x₃ + ... + x₁₇ + x₁₈) / 18  de onde tiramos:
18M = (x₁ + x₂ + x₃ + ... + x₁₇ + x₁₈)

Supondo que um professor se aposentou e no lugar dele ficou um professor de 22 anos de idade, sendo x₁₈ a idade deste professor (poderia ser qualquer um outro), a nova média aritmética W das idades será:

W = (x₁ + x₂ + x₃ + ... x ₁₇ + 22) / 18, de onde tiramos:
18W = x₁ + x₂ + x₃ + ... + x₁₇ + 22

Fazendo  x₁ + x₂ + x₃ + ... + x₁₇ =  y  e substituindo nas igualdades anteriores, fica:

18M = y + x₁₈
18W = y + 22

Subtraindo membro a membro as duas igualdades acima, vem:

18M – 18W = (y + x₁₈) – (y + 22)   Þ  18M – 18W = x₁₈ – 22 , onde  x₁₈ é a idade do professor aposentado que está sendo procurada.

Ora, no enunciado é dito que, com a substituição do professor de idade x₁₈ por outro de 22 anos, a média de idade do grupo diminuiu de 2 anos, ou seja:
W = M – 2

Temos então o seguinte sistema de equações:

18M – 18W = x₁₈ – 22
W = M – 2

Substituindo o valor de W da segunda equação, na primeira, fica:
18M – 18(M – 2) = x₁₈ – 22
Efetuando as operações indicadas no primeiro membro, vem:
18M – 18M + 36 = x₁₈ – 22  \ 36 = x₁₈ – 22   \ x₁₈ = 36 + 22 = 58, ou seja, a idade do professor aposentado é igual a 58 anos, o que nos leva tranquilamente à alternativa D.

Agora resolva este:

Uma escola tem 20 professores. Um deles se aposenta e é substituído por um professor de 22 anos.
Com isso, a média das idades dos professores diminuiu de 2 anos.
A idade do professor que se aposentou é, em séculos:

a) 0,56
b) 0,57
c) 0,58
d) 0,60
e) 0,62

Resposta: E (observe que 1 século = 100 anos)

Paulo Marques, 11 de agosto de 2006 - Feira de Santana - BA, revisado em 01/09/2006.

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