Exercícios Resolvidos VII


1 UFBA 98 1ª fase Durante 15 dias, um automóvel é submetido a testes de desempenho mecânico. No primeiro dia ele percorre 40 km; no segundo, 60 km; no terceiro, 80 km; e assim sucessivamente, até o último dia, quando percorre x km. Calcule x/10.

Solução:

Temos a seguinte seqüência: (40, 60, 80, ... , x). Como são 15 dias, temos uma Progressão aritmética P.A. de 15 termos, onde: razão = r = 20; primeiro termo = a1 = 40; décimo quinto termo = a15 = x ; Logo, usando a fórmula do termo geral de uma P.A. , poderemos escrever:
a15 = a1 + (15 1).r

Substituindo os valores conhecidos, vem:
x = 40 + 14 . 20 Þ x = 40 + 280 = 320
Ora, sendo x = 320, conclui-se que x/10 = 320/10 = 32

Resposta: 32.

2 UFBA 98 1ª fase Uma rede de lojas comprou uma mercadoria à vista, com 20% de desconto sobre o preço de tabela e teve uma despesa de R$50,00 com transporte e impostos. Na venda dessa mercadoria, obteve lucro de 20% sobre o total desembolsado.

Se o preço de venda foi R$540,00, então pode-se afirmar :
(01) O preço de tabela era R$500,00
(02) O preço à vista foi R$400,00
(04) O lucro obtido foi R$60,00
(08) O desconto sobre o preço de tabela foi R$40,00
(16) As despesas com transporte e impostos corresponderam a 12,5% do preço à vista.

Comentário: este tipo de questão consiste em identificar as proposições verdadeiras, somar os números a elas correspondentes e marcar o resultado na Folha de Respostas.

Solução:
Seja x o preço de tabela. Portanto o total desembolsado = Td foi igual a:
Td = 80% de x + 50 = 0,80x + 50.

A mercadoria foi vendida com um lucro de 20% sobre o total desembolsado (Td). Daí, poderemos dizer, de acordo com o enunciado que:
1,20 . Td = 540 \ 1,20(0,80x + 50) = 540
Resolvendo a equação, fica: 0,96x + 60 = 540 Þ 0,96x = 480 Þ x = 480/0,96
Logo, x = 48000/96 = R$500,00 ( preço de tabela) . Logo (01) é verdadeira.

O preço à vista foi 80% de x (já que o desconto foi 20%) . Então, o preço à vista era igual a 
80% . R$500,00 = 0,80 . 500 = R$400,00. 
Portanto (02) é também verdadeira.

Sabemos que o total desembolsado é igual a Td = 0,80.x + 50 = 0,80.500 + 50

Portanto, Td = R$450,00 . Como o lucro foi de 20% sobre o total desembolsado, vem que o lucro L foi igual a L = 20% de R$450,00 = 0,20 . 450 = R$90,00 e portanto (04) é falsa.

O desconto foi de 20% sobre o preço de tabela, portanto, 
20% de R$500,00 = 0,20 . 500 = R$100,00. Portanto, (08) é falsa.

As despesas com transporte e impostos, igual R$50,00 em relação ao preço à vista (R$400,00) representa um percentual igual a 50/400 = 0,125 = 12,5% e portanto (16) é verdadeira.
Concluímos pois que deveria ser assinalado na Folha de Respostas o número:

01 + 02 + 16 = 19

Resposta: 19

3 MACK 77 O menor valor que y pode assumir na função y = cosx + cos2x é:

A) 3/4
B) 7/8
C) 1
D) 9/8
E) 1

Solução: 
Sabemos da Trigonometria que cos2x = 2.cos2x 1 (coseno do arco duplo). Logo, poderemos escrever:

y = cosx + 2.cos2x 1 ou y = 2.cos2x + cosx 1
Vamos fazer cosx = t (mudança de variável). Teremos:
y = 2t2 + t 1 , que é uma função quadrática onde a=2; b=1 e c= -1.
Como o coeficiente do termo do 2º grau é positivo, sabemos da teoria, que esta função possui um valor mínimo, dado pela equação:

Logo, o valor mínimo procurado é igual a 9/8, o que nos leva à alternativa D.

4 Itajubá 77 Calcular o valor da expressão 53x + 5-3x , sabendo que 5x + 5-x = 5.

Solução:
Sabemos que (A+B)3 = A3 + B3 + 3(A+B)(AB)
Logo, podemos escrever:
(5x + 5-x)3 = 53 ; desenvolvendo esta expressão, vem:

53x + 5-3x + 3(5x + 5-x)(5x.5-x) = 125. [observe que 5x . 5-x = 5x-x = 50 = 1]. Logo, vem:
53x + 5-3x + 3(5)(1) = 125
Portanto, poderemos escrever finalmente:
53x + 5-3x = 125 15 = 110

Resposta: 110

5 FEI 77 Calcular sen2x sabendo que tgx + cotgx = 3.

Solução:
Podemos escrever:

Portanto, 2 = 3.sen2x e daí conclui-se que sen2x = 2/3.

Resposta: 2/3

Lembretes:
1) tgx = senx/cosx
2) cotgx = cosx/senx
3) sen2x = 2.senx.cosx
4) Em Trigonometria, é importante saber as fórmulas, para não ter que deduzi-las na hora da prova!

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 02 de julho de 1999


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