Vestibulares do Brasil IV

ITA 1995 - Para cada n inteiro e positivo, temos que é igual a:

a) (-1)n.22n
b) 22n
c) (-1)n.22n
d) (-1)n+1.22n
e) (-1)n+1.2n

SOLUÇÃO:
Observe que a expressão binomial dada pode ser escrita como:

Verifique que a expressão binomial acima, lembra o desenvolvimento de um binômio de Newton (1 + i) 4n , onde i é a unidade imaginária, no qual estão faltando alguns termos. Vamos completá-lo:

Agrupando convenientemente as partes real e imaginária da expressão binomial acima, lembrando antes que:
i0 = 1, i1 = i, i2 = -1, i3 = - i, ... , vem:

Voltemos ao binômio de Newton (1 + i)4n.
Observe que podemos escrever:
(1 + i)4n = [(1+i)2]2n

Como (1 + i)2 = 2i, vem:
(1 + i)4n = (2i)2n = 22n . i2n = 22n . (i2)n = (-1)n . 22n

Vemos, pois, que (1 + i)4n é um número real para todo n inteiro e positivo. Portanto, a parte imaginária da expressão binomial acima é NULA e, então poderemos escrever finalmente:



Ora, o primeiro membro da igualdade acima é exatamente a expressão dada no enunciado da questão.
Portanto, a expressão dada é equivalente a (-1)n.22n , o que nos leva a afirmar que a alternativa verdadeira é a de letra A .

PAULO MARQUES, Feira de Santana - BA - 27 de Fevereiro de 2000.

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