Matemática do Científico e do Vestibular

Uma fita de vídeo

Uma fita de vídeo pode ser usada para gravação durante 2 horas em velocidade padrão, ou durante 6 horas em velocidade reduzida. Se uma fita esgotou sua capacidade de gravação em 3 horas, podemos concluir que ela foi usada em velocidade reduzida durante

A) 1 h
B) 1h30min
C) 2h
D) 2h15min
E) 2h30min

Esta questão compareceu no Exame Nacional de Cursos (conhecido popularmente como PROVÃO) - para o curso de MATEMÁTICA - no ano de 2001 - do MEC - Ministério de Educação e Cultura.

Solução:

Vamos usar a seguinte simbologia:
C – comprimento total da fita.
Vp – velocidade padrão
Vr – velocidade reduzida
tp – tempo de gravação na velocidade padrão, em horas
tr – tempo de gravação na velocidade reduzida, em horas

Poderemos escrever as quatro igualdades seguintes, com base no enunciado da questão:

( 1 )  Vp = C / 2  \ C = 2.Vp
Justificativa: A fita de comprimento total C leva 2h para terminar a gravação na velocidade padrão Vp . (lembre-se que velocidade = espaço dividido pelo tempo).

( 2 )  Vr = C / 6  \ C = 6.Vr
Justificativa: A fita de comprimento total C leva 6h para terminar a gravação na velocidade reduzida Vr . (lembre-se que velocidade = espaço dividido pelo tempo).

( 3 )  tr . Vr + tp . Vp = C
Justificativa: Como só existem duas velocidades possíveis para a gravação da fita de vídeo (2h ou 6h), o tempo intermediário de 3h, só poderá ser alcançado se a fita gravar na velocidade Vr durante o tempo tr e na velocidade Vp durante o tempo tp, que somados, dará o comprimento total da fita, que é igual a C.

( 4 )  tr + tp = 3
Justificativa: conforme dado do problema, a fita de vídeo foi gravada em 3h e em duas velocidades distintas, durante intervalos de tempo distintos, que somados dá o tempo total de gravação (3h).

De (4) tiramos: tp = 3 - tr  

Substituindo o valor de tp na igualdade (3), vem:

tr . Vr + (3 - tr ) .Vp = C
tr . Vr + 3 . Vp –  tr . Vp = C   (equação 5)

Observe que a questão pede para calcular o tempo de gravação na velocidade reduzida, ou seja, tr .
Já sabemos que C = 2.Vp    e     C = 6.Vr  (vide igualdades 1 e 2 acima).
Concluímos  daí que:   2.Vp =  6.Vr   \ Vp = 3.Vr
Substituindo o valor de Vp na  equação 5 acima, fica:

tr . Vr + 3 . (3.Vr) –  tr . (3.Vr)  = C
tr . Vr + 9.Vr –  3.tr . Vr  = C

Isolando o termo procurado  tr , vem:

tr . Vr –  3.tr . Vr  = C – 9.Vr
- 2.tr.Vr = C – 9.Vr

Daí tiramos: tr = (C – 9Vr) / (-2.Vr )

Lembrando que C = 6.Vr (vide igualdade 2 acima), vem finalmente, substituindo:

tr = (6Vr – 9Vr) / (-2Vr) = (-3Vr) / (-2Vr) = (-3) / (-2) = 3/2 = 1,5 horas ou seja 1h30min, o que nos leva tranqüilamente à alternativa B.

Nota: 1,5 h = 1h + 0,5h = 1h + 0,5.(60min) = 1h30min

Agora resolva este:


Uma fita de vídeo pode ser usada para gravação durante 2 horas em velocidade padrão, ou durante 6 horas em velocidade reduzida. Se uma fita esgotou sua capacidade de gravação em 4 horas, podemos concluir que ela foi usada em velocidade reduzida durante

A) 1 h
B) 1h30min
C) 2h
D) 2h15min
E) 2h30min

Resposta: C

Veja outro problema similar clicando AQUI.


Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 26 de outubro de 2002.
Ampliado em 26/01/05.
 


VOLTAR