Os números naturais

Os números naturais: o conjunto N
N
= {1,2,3,4,5,6, ... , 19,20, ... , 1001, 1002, ... , 10000001, ... }

Notas elucidativas

a) os números naturais surgiram da necessidade de contagem dos elementos de um conjunto pelo homem primitivo e, neste sentido, o zero ( 0 ) não seria um número natural.

b) por volta do ano 458 DC,  o zero foi introduzido pelos hindus, para representar a coluna vazia dos ábacos, daí sua denominação original de sunya (vazio).
Ábaco - segundo o dicionário Melhoramentos - 7ª edição: calculador manual para aritmética, formado de um quadro com vários fios paralelos em que deslizam botões ou bolas móveis.
Veja a ilustração a seguir, obtida no site do Museo Pedagógico José Pedro Varela - poeta e educador uruguaio   (1845 - 1879).


Nota: observe acima à direita, a linha vazia no ábaco, significando o zero.

c) no entanto, como o zero atende às propriedades básicas dos números naturais, ele pode ser considerado um número natural, não obstante a premissa contrária não conflitar a teoria. Assim, não deveremos estranhar quando aparecer em provas de vestibulares o conjunto N como sendo N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }, definindo-se um outro conjunto sem o zero:
N* = N - {0} = {1,2,3,4, ... }. Como esta forma de abordagem é a mais usual, consideraremos o zero como sendo um número natural, no que se segue.

d) o conjunto dos números naturais é infinito.

Propriedades:

1 – Todo número natural n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por 
suc(n) = n + 1
. Exemplo: suc(32) = 32 + 1 = 33.

2 – Dados dois números naturais m e n, ocorrerá uma e somente uma das condições :
m = n : m igual a n (igualdade)
m > n : m maior do que n (desigualdade)
m < n : m menor do que n (desigualdade). Esta propriedade é conhecida como Tricotomia.

Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos
³ ou £ os quais possuem a seguinte leitura:
a
³ b : a maior do que b ou a = b.
a
£ b : a menor do que b ou a = b

Assim por exemplo, x
£ 3, significa que x poderá assumir em N, os valores 3,2,1 ou 0. 
Já x < 3, teríamos que x seria 2, 1 ou 0.

Operações em N

1 – Adição: a + b = a mais b.a + b = a mais b.

Propriedades:

Dados os números naturais a, b, c, em N, são válidas as seguintes propriedades:

1.1 – Fechamento: a soma de dois números naturais é sempre um número natural. Diz-se então que o conjunto N dos números naturais é fechado em relação à adição.

1.2 – Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

1.3 – Comutativa: a + b = b + a

1.4 – Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.

1.5 – Unívoca: o resultado da adição de dois números naturais é único.

1.6 – Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número natural a
ambos os membros, ou seja, se a  > b então a + c > b + c.

2 – Subtração: Observa-se que a subtração (diferença) é uma operação inversa da adição. 
Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o conjunto N não é fechado em relação à subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números naturais, nem sempre é um outro número natural. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos números naturais. Das seis propriedades do item anterior, verifica-se que a operação subtração possui apenas aquelas dos sub-itens (1.5) e (1.6).

3 – Multiplicação: é um caso particular da adição (soma), pois somando-se um número natural a si próprio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x n
Na igualdade a . n = b, dizemos que a e n são os fatores e b é o produto.

Propriedades:

Dados os números naturais a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:

3.1 – Fechamento: a multiplicação de dois números naturais é sempre outro número natural. Dizemos então que o conjunto N dos números naturais é fechado em relação à operação de multiplicação.

3.2 – Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a . (b . c) = (a . b) . c

3.3 – Comutativa: a x b = b x a

3.4 – Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.

3.5 – Unívoca: o resultado da multiplicação de dois números naturais é único.

3.6 – Monotônica: : Uma desigualdade não se altera, se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo número natural, ou seja, se a  > b então a x  c > b x c.

3.7 – Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).

4 – Potenciação: é um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim é que multiplicando-se um número natural a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que será indicado pelo símbolo 
a n
, onde a será denominado base  e n expoente. 
Assim é que, por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc.

5 – Divisão: é um caso particular da subtração, senão vejamos: o que significa dividir 17 por 3? Significa descobrir, quantas vezes o número 3 cabe em 17, ou seja: 17 – 3 – 3 – 3 – 3 - 3  e restam 2. Podemos escrever a expressão anterior como:
17 = 5 . 3 + 2 . O número 17 é denominado dividendo, o número 3 é denominado divisor, o número 5 é denominado quociente e o número 2 é denominado resto. 
De uma maneira geral, dados os números naturais D, d, q e r, poderemos escrever a relação 
D = d.q + r  com  0
£ r < d
Se r = 0, dizemos que a divisão é exata, ou seja, não deixa resto. A demonstração da existência e da unicidade dos números D, d, q e r, pode ser vista nos compêndios de Teoria dos Números e não cabe aqui nestas notas introdutórias. A relação vista acima é conhecida como Teorema de Euclides.

5.1 – Exercícios resolvidos

Dividindo-se o número 245 por um número natural b, obtém-se quociente 5 e resto r. Determine o valor da soma dos valores possíveis para b.

Solução:

Pela exposição anterior, poderemos escrever:
245 = 5.b + r  com 0
£ r < b .

Da primeira expressão, tiramos: r = 245 – 5b
Substituindo na segunda, vem:
0
£ 245 – 5b < b

Podemos desmembrar a dupla desigualdade acima em duas, a saber:

0
£ 245 – 5b   e   245 – 5b < b

Resolvendo a primeira: 0
£ 245 – 5b  \ 5b  £ 245  \ b £ 49.

Resolvendo a segunda: 245 – 5b < b 
\ 245 <  6b   \ 6b > 245 \b > 40, 83...

Ora, sendo b um número natural  maior do que 40,83 e menor ou igual a 49, vem que os valores possíveis para b serão: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 e 49.
A soma dos valores possíveis para b será então,
S = 41 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48 + 49 = 405.

Resposta: 405

UNICAMP 1994 – 2ª fase – A divisão de um certo número inteiro N por 1994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão de N + 2000 pelo mesmo número 1994.

Solução:

Pelo Teorema de Euclides visto acima, poderemos escrever:

N = 1994.q + 148, onde q é o quociente.

Analogamente, para N + 2000, teremos:

N + 2000 = 1994.Q + r, onde Q é o novo quociente e r é o novo resto.

Podemos escrever:  N = 1994.Q – 2000 + r

N = 1994.Q – (1994 + 6) + r
N = 1994.Q – 1994 – 6 + r
N = 1994(Q - 1) + r - 6 
N – 1994(Q – 1) - r + 6 = 0

Substituindo o valor de N fica:

1994.q + 148 – 1994(Q – 1) - r + 6 = 0

1994(q – Q +1) + (154 – r) = 0

Ora, sendo Q, q e r naturais, a soma acima será nula, se e somente se ocorrer
q – Q + 1 = 0, ou seja, Q = q + 1   e   154 - r  = 0
Como estamos interessados no novo resto r, vem imediatamente que: r = 154.

Resposta: 154

Outra maneira de resolver o problema, talvez mais simples, seria:

Temos pelo enunciado:

N = 1994.q + 148

Adicionando 2000 a ambos os membros, vem:

N + 2000 = 1994.q + 2000 + 148

N + 2000 = 1994.q + 2000 + 148

Decompondo 2000 na soma equivalente 1994 + 6, fica:

N + 2000 = 1994.q + 1994 + 6 + 148

N + 2000 = 1994.(q + 1) + 154

Logo, o novo quociente é q + 1 e o novo resto é igual a 154.

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 09/12/2001 - revisado e ampliado em 24/08/2003 e em 30/08/2015.

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