Entrevistando k candidatos

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"Porque muitos serão chamados, mas poucos serão escolhidos"(Mateus 22:14).

1 - Uma empresa entrevistou k candidatos a um determinado emprego e rejeitou um número de candidatos igual a cinco vezes o número de candidatos aceitos. Um possível valor para k é:
a) 156 
b) 280 
c) 490 
d) 548 
e) 650

Solução:

Sejam p = número de candidatos aceitos e r = número de candidatos rejeitados.
Pelo enunciado temos que r = 5 p e r + p = k.
Substituindo o valor de r na segunda igualdade vem que: 5 p + p = k \ k = 6 p.

Ora, sendo k o número total de candidatos, infere-se que k é inteiro e positivo. 
Como k = 6p , inferimos então que k será um múltiplo positivo de 6, ou seja,
k = 6, 12, 18, 24, 30, ...

Dentre as alternativas dadas, a única que indica um múltiplo de 6 é a alternativa A.

Nota: se um número é múltiplo de 6, então ele é necessariamente divisível por 2 e por 3.
Observe que 156 é divisível por 2 porque é par, é divisível por 3 porque a soma de seus algarismos
(1 + 5 + 6 = 12) é divisível por 3. Portanto, 156 é múltiplo de 6.

Neste caso, k = 156 e como k = 6p, vem que p = k / 6 = 156 / 6 = 26
Vemos pois que foram p = 26 candidatos aceitos e r = 5p = 5.26 = 130 candidatos rejeitados, totalizando
26 + 130 = 156 candidatos.

2 - Uma empresa entrevistou k candidatos a um determinado emprego e rejeitou um número de candidatos igual a quatro vezes o número de candidatos aceitos. Um possível valor para o número de candidatos rejeitados é:
a) 135 
b) 126 
c) 112 
d) 118 
e) 106

Solução:

Seja r o número de candidatos rejeitados e p o número de candidatos aceitos.Teremos pelo enunciado: r = 4p e, portanto, r é um número múltiplo de 4. Logo, deduz-se imediatamente que das alternativas apresentadas, apenas a alternativa C satisfaz, pois nenhuma das outras representam números múltiplos de 4.

Notas:

I - outra forma de abordagem do problema seria: se r é múltiplo de 4, então r é também divisível por 4. Das alternativas apresentadas, apenas a C é um número divisível por 4. Veja a justificativa a seguir.

II - Um número natural é divisível por 4, quando os dois últimos algarismos da direita formam um número divisível por 4. Com efeito, seja por exemplo, abc um número genérico de 3 algarismos.
Pelo princípio do valor posicional, poderemos escrever: abc = 100a + 10b + c.
Como 100a é divisível por 4, o segundo membro da igualdade somente será divisível por 4 se 10b + c for divisível por 4, o que justifica a regra acima.

Exemplos:
1316 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1280 é divisível por 4, pois 80 é divisível por 4.

Agora resolva estes:

1 - Uma empresa entrevistou k candidatos a um determinado emprego e rejeitou um número de candidatos igual a seis vezes o número de candidatos aceitos. Um possível valor para k é:
a) 300 
b) 400 
c) 500 
d) 600 
e) 700

Resposta: E


2 - Uma empresa entrevistou k candidatos a um determinado emprego e rejeitou um número de candidatos igual a três vezes o número de candidatos aceitos. Um valor possível para o número de candidatos aceitos é:
a) 300 
b) 320 
c) 287 
d) 293 
e) 251

Resposta: A

Nota: Revise se necessário, os seguintes arquivos:
Critérios de divisibilidade e Múltiplos e Divisores. 
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Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 03/10/2004; revisado e ampliado em 15/09/2006.

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