Jogando e perdendo!

Três jogadores combinaram que aquele que perdesse, duplicaria o dinheiro dos outros dois.
Perdem cada um, uma partida e depois retiram-se, levando cada um $120.  Quanto tinha cada um no início?

Solução:

Sejam os jogadores J₁, J₂ e J₃, com as quantias iniciais x, y e z, respectivamente.
J₁ tem x no início
J₂ tem y no início
J₃ tem z no início

Vamos considerar as seguintes hipóteses:

J₁ perde e dobra o dinheiro de J₂ e J₃:
Nestas condições, como o dinheiro dos outros dois será duplicado, teremos:
J₂ que possui y, vai ficar com o dobro 2y = y + y.
Nota: y que ele possuía mais y dado por J₁.
J₃ que possui z, vai ficar com o dobro 2z = z + z.
Nota: z que ele possuía mais z dado por J₁.
J₁ que possuía x, vai ficar com x – y – z .

J₂ perde e dobra o dinheiro de J₁ e J₃:
Pelo enunciado da questão, as quantias de J₁ e J₃ serão duplicadas., ou seja:
J₁ que agora possui x – y – z , vai ficar com o dobro 2(x – y – z) = (x – y – z) + (x – y – z)
Nota: x – y – z que ele possuía, mais x – y – z dado pelo perdedor J₂
J₃ que agora possui 2z, vai ficar com o dobro 4z = 2z + 2z
Nota: 2z que ele possuía, mais 2z dado pelo perdedor J₂.
J₂ que possuía 2y, vai ficar com 2y – (x – y – z) – 2z = 2y – x + y + z – 2z = 3y – x – z.
Nota: J₂ pagou x – y – z a J₁ e 2z a J₃.

J₃ perde e dobra o dinheiro de J₁ e J₂:
Usando o resultado do item anterior e seguindo a regra do enunciado, fica:
J₁ que já possui 2(x – y – z), vai ficar com o dobro: 4(x – y – z).
Nota: 2(x – y – z) que ele possuía, mais 2(x – y – z) dado pelo perdedor J₃
J₂ que já possuía 3y – x – z , vai ficar com o dobro: 2(3y – x – z) = 6y – 2x – 2z
Nota: J₃ pagou 2(x – y – z) a J₁ e (3y – x – z) a J₂
Portanto J₃ que possuía 4z, vai ficar com 4z – 2(x – y – z) – (3y – x – z)

Simplificando, vem: 4z – 2x + 2y + 2z – 3y + x + z = 7z – x – y

Como a esta altura, J₁, J₂ e J₃ perderam cada um, uma partida, e é dito no enunciado da questão que cada um deles ficou com $120, é lícito escrever as seguintes igualdades:
4(x – y – z ) = 120 ou x – y – z = 120/4 = 30
6y – 2x – 2z = 120 \ 3y – x – z = 60 (resultado obtido dividindo ambos os membros da igualdade por 2, o que não altera a igualdade).
7z – x – y = 120

Temos então, o seguinte sistema de equações lineares:

x – y – z = 30
3y – x –z = 60
7z – x – y = 120

Podemos resolver este sistema de equações aplicando a regra de Cramer ou o método do escalonamento.

Vamos optar entretanto, por outro caminho alternativo, ao meu ver mais rápido, neste caso:
Adicionando membro a membro as duas primeiras equações, fica:
2y – 2z = 90 ou, 2(y – z) = 90 \ y – z = 45

Subtraindo membro a membro a segunda equação da terceira, fica:
(7z – x – y) – (3y – x – z) = 120 – 60
8z – 4y = 60 ou 4(2z – y ) = 60 \ 2z – y = 15
Temos então que:
y – z = 45
2z – y = 15

Somando membro a membro as duas igualdades acima, resulta: z = 60.
Ora, como z = 60, vem, substituindo: y – 60 = 45 \y = 105

Como já conhecemos os valores de z e de y, e também que x – y – z = 30, vem, por simples substituição:
x – 105 – 60 = 30 \ x = 30 + 105 + 60 = 195, ou seja: x = 195

Portanto, a resposta do problema proposto é: no início dos jogos, cada jogador possuía:

J₁: x = $195,00, J₂ : y = $105,00 e J₃ : z = $60,00.

Verificação:

J₁ perde e dobra o dinheiro de J₂ e J₃:
Nestas condições, como o dinheiro dos outros dois será duplicado, teremos:
J₂ que possui 105, vai ficar com o dobro 210
J₃ que possui 60, vai ficar com o dobro 120
J₁ que possuía 195, vai ficar com 195 – 105 – 60 = 30

J₂ perde e dobra o dinheiro de J₁ e J₃:
J₁ que agora possui 30, vai ficar com o dobro 60
J₃ que agora possui 120, vai ficar com o dobro 240
J₂ que possuía 210, vai ficar com 210 – 30 – 120 = 60

J₃ perde e dobra o dinheiro de J₁ e J₂:
J₁ que possui 60 vai ficar com o dobro: 120
J₂ que possui 60, vai ficar com o dobro: 120
J₃ que possuía 240, vai ficar com 240 – 30 – 90 = 120
Portanto, cada um ficou com $120, como o problema queria.

Paulo Marques, Feira de Santana – BA , 13 de março de 2005; editado em 26/03/2011.

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