Geometria IV - Semelhança de triângulos

Considere a figura a seguir, onde estão construídos dois triângulos ABC e PQR, obedecendo a um critério particular, definido pelas igualdades:

OP = k.OA    (1)  
OQ
= k.OB    (2)  
OR
= k.OC    (3)
onde k é um número real positivo.

Usando a notação de Grassmann para vetores , podemos escrever as igualdades acima, como:

P – O = k.(A – O)     (4)
Q – O = k.(B – O)     (5) 
R – O = k.(C – O)     (6)

Subtraindo convenientemente estas igualdades, duas a duas, obteremos:

(5) – (4): Q – P = k.(B – A) \ PQ = k.AB
(6) – (4): R – P = k.(C – A)
\ PR = k.AC
(6) – (5): R – Q = k.(C – B)
\ QR = k.BC

Observe então que as medidas dos lados PQ, AB, PR, AC, QR e BC, são, duas a duas, proporcionais, pois podemos escrever baseado nas três últimas igualdades acima, que:

Os triângulos ABC e PQR, nestas condições, são ditos homotéticos, homólogos ou semelhantes, sendo k a razão de semelhança.

Indicamos esta semelhança na forma:
DABC ~ DPQR 

Se k = 1, os triângulos são ditos congruentes.

Verifica-se que triângulos semelhantes possuem a mesma forma, diferindo apenas nas dimensões, que são proporcionais. Queremos dizer com isto, que a semelhança mantém invariante a forma, embora variem as dimensões.

Já sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180º. Assim, é que se dois triângulos possuírem dois pares de ângulo de mesma medida, inevitavelmente o terceiro par de ângulos serão também de mesma medida. Ora, se os ângulos internos de dois triângulos possuem a mesma medida, estes triângulos possuirão a mesma forma, podendo diferir nas dimensões, a exemplo da figura abaixo.

 

Estas considerações, permitem resumir o principal caso de semelhança de triângulos:

SE DOIS TRIÂNGULOS POSSUEM DOIS ÂNGULOS INTERNOS DE MESMA MEDIDA, ENTÃO ELES SÃO SEMELHANTES.

Este caso de semelhança, permite resolver todos os problemas de semelhança de triângulos que possam ser apresentados.

Para resolver problemas envolvendo semelhança de triângulos, propomos o seguinte roteiro simples:

1 – identifique os triângulos semelhantes, e os desenhe separadamente, identificando os ângulos de mesma medida, com marcações iguais.

2 – vencida a etapa 1 acima, os lados proporcionais, serão aqueles opostos aos ângulos de marcações iguais.

Apesar de sabermos que triângulos semelhantes possuem a mesma forma, nem sempre nas provas, os desenhos são mostrados em escala , de forma que, para identificar triângulos semelhantes, não se detenha apenas na forma das figuras apresentadas, o que pode confundir. Utilize o critério de semelhança visto acima.

Veja a figura a seguir:

 

Exercício resolvido:

Determine a medida x na figura abaixo:

Solução:

Observe que os triângulos ABD e CBD são semelhantes, pois possuem dois ângulos de mesma medida: o ângulo comum D e aqueles marcados em amarelo. Separando os triângulos, vem:

                       

Comparando os lados correspondentes marcados nas duas figuras acima, vem imediatamente que:

BD / CD = AD / BD = AB / BC

Substituindo os valores, vem:
10 / 4 = (x + 4) / 10

Resolvendo a equação acima, fica:
4(x + 4) = 10.10
x + 4 = 100/4
x + 4 = 25
\ x = 21
Resp: x = 21

Exercício proposto:

Determine a medida  x  na figura abaixo, sabendo-se que:
AB = 8 cm
AD = 17 cm
ED = 5 cm

Resposta: x = 8/3  cm.
Nota: figuras executadas por meu filho Rafael, 14.

Paulo Marques, Feira de Santana, 27 de agosto de 2000.


VOLTAR