Geometria VII - Volume de pirâmide II

Calcule o volume da pirâmide PQRS mostrada na figura abaixo.

Solução:  

O volume de uma pirâmide é calculado pela fórmula
V = (1/3).S_b.h, onde S_b é a área da base e h a sua altura (da pirâmide, é claro!).    
No caso, a altura é h = PS e a base é o triângulo retângulo RSQ, com o ângulo reto em S.

Poderemos escrever, pelo teorema de Pitágoras:

Nota: Pitágoras (582 - 500 a.C.), filósofo e matemático grego.

RS² + SP² = 8² = 64   (1)

SP² + SQ² = 10² = 100 (2)

RS² + SQ² = 12² = 144 (3)

Necessitamos conhecer os valores das dimensões RS, SQ e SP.

Vamos aos cálculos necessários:
Subtraindo convenientemente as igualdades acima, vem:
(3) – (1): RS² – RS² + SQ² – SP² = 144 – 64 = 80  
Simplificando, fica: SQ² – SP² = 80 ou SQ² = 80 + SP²

Substituindo este valor na igualdade (2), vem:
SP² + 80 + SP² = 100, de onde vem,  2.SP² = 20 e, portanto,  SP² = 10, de onde vem finalmente: SP = Ö10.

Substituindo o valor de SP² na igualdade (1), vem:
RS² + 10 = 64, de onde vem RS = Ö54 = 3Ö6

Substituindo o valor de SP² na igualdade (2), vem:
10 + SQ² = 100
SQ² = 90, de onde vem, SQ = Ö90 = 3Ö10.

Para o cálculo do volume desejado, vem então:

V = (1/3).S_b.h

A altura h é igual a SP, ou seja, h = SP = Ö10. A área da base será a área do triângulo retângulo RSQ e, portanto, igual a:
S_b = (1/2).RS.SQ = (1/2).3Ö6. 3Ö10

Substituindo, vem, finalmente:
V = (1/3). (1/2).3Ö6. 3Ö10. Ö10
Efetuando os cálculos indicados, teremos V = 15Ö6 u.v.
Nota: u.v = unidade de volume.

Paulo Marques, 26 de dezembro de 2000; editado em 16/12/2008.

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