Um certo poliedro convexo
Um poliedro convexo possui 10 faces, sendo algumas quadrangulares e outras triangulares. Ache o número de faces de cada tipo, sabendo que a soma dos ângulos das suas faces é 2520º.
Solução:
Sendo x faces quadrangulares e y faces triangulares, teremos:
x + y = 10
Sabemos que a soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo é dada por:
S = (V – 2) . 360º , onde V é o número de vértices. Logo,
2520º = (V - 2) .360º \ V – 2 = 7 \ V = 9
Sabemos também pelo Teorema de Euler, que:
V + F = A + 2
onde V é o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces.
Teremos então:
9 + 10 = A + 2 \ A = 17
Outra relação conhecida para os poliedros é: n . F = 2 . A, onde n é o número de arestas em cada face.
No presente caso, n . F = 4 x + 3 y já que são 4 faces quadrangulares e 3 faces triangulares.
Logo,
4 x + 3 y = 2 . A = 2.17 = 34
Já sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180º e a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º. Logo, como são x quadriláteros e y triângulos, vem:
x . 360 + y . 180 = 2520Simplificando, vem:
2 x + y = 144 x + 3 y = 34
Resolvendo o sistema acima, vem:
y = 14 – 2x
4 x + 3 ( 14 – 2 x ) = 34
4 x + 42 – 6 x = 34
– 2 x = – 8
Daí tiramos x = 4 e, portanto y = 6.
São então 4 faces quadrangulares e 6 faces triangulares.
Paulo Marques, 15 de janeiro de 2002, Feira de Santana - BA.