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Considerações sobre uma equação logarítmica também simples |
UEFS
2004.1 - A soma das raízes de 2log2
(cos x) – log2(1 + sen2x) = 0 ,
pertencentes ao intervalo [-2p,
2p], é:
a) 0
b) p/2
c) 3p/2
d) 2p
e) 5p/2
Nota:
UEFS – Universidade Estadual de Feira de Santana –
Bahia.
Solução:
Poderemos
escrever: 2log2(cosx)
= log2(1 + sen2x)
Como
já sabemos que k .
log n = log n k , vem:
log2(cos
x)2 = log2(1 + sen2x)
Daí
vem imediatamente que cos2x
= 1 + sen2x
Passando sen2x
para o primeiro membro:
cos2x
– sen2x = 1
Ocorre que já
sabemos da Trigonometria que cos2x
– sen2x = cos2x
Logo, a
igualdade fica: cos2x =
1
Temos aqui uma equação
trigonométrica elementar do tipo cos y = m
Como 1
= cos 0, vem:
cos2x
= cos0
Usando a condição de
arcos de mesmo cosseno poderemos
escrever:
2x ±
0 = 2kp, onde k é um número
inteiro.
Logo, 2x = 2kp \
x = kp, com k Î
Z
Portanto as raízes da equação
cos2x = 1, serão obtidas atribuindo-se valores inteiros a
k.
O conjunto solução da equação
cos2x = 1
em R – conjunto dos números reais –
será então, igual a:
S = {... , -4p,
-3p, -2p,
-p, 0, p,
2p, 3p,
4p, 5p,
... }
Ocorre que o problema pede a soma das raízes no
intervalo [-2p, 2p].
As raízes que pertencem a este intervalo são: -2p,
-p, 0, p,
2p.
Lembrando que a equação
proposta no problema é
2log2
(cos x) – log2(1 + sen2x) = 0
e
que não existe logaritmo de
número real negativo, os valores -p
e p não satisfazem ao
problema
pois cosp = -1 e cos (-p)
= -1, o que faria com que log2(cosx) não existisse
para estes valores. Assim, as raízes da equação
proposta no intervalo dado são apenas -2p,
0 e 2p., cuja soma vale -2p
+ 0 + 2p = 0, o que nos leva
tranquilamente à alternativa A .
Repare que mesmo que o
candidato não observasse esta sutileza (de que -p
e p não satisfazem ao
problema) ainda assim ele acertaria a questão, pois a soma
-2p + (-p)
+ 0 + p + 2p
resultaria também em zero. Portanto, ao meu ver, uma pergunta
mais adequada neste caso seria:
O número
de raízes da equação 2log2 (cos
x) – log2(1 + sen2x) = 0 , no intervalo
[-2p, 2p]
é:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 0
Muitos candidatos
desavisados marcariam a resposta A, quando o correto seria C,
pois as
raízes seriam apenas -2p, 0
e 2p , pelos motivos já
expostos acima.
Claro que falamos isto, preocupado apenas com o rigor do exame, não cabendo aqui nenhuma interpretação de que o objetivo seria complicar a questão.
Agora resolva este:
O
produto das raízes não nulas da equação
2log2 (cos x) – log2(1 + sen2x)
= 0 , no intervalo [-2p,
2p], é:
a) 4p4
b) -4p4
c) 4p2
d) -4p2
e) 8p2
Resposta:
D
Repare que esta também seria outra forma adequada
para o enunciado da questão proposta na UEFS 2004.1, pois a
sutileza discutida acima seria contemplada.
Paulo
Marques, 27 de fevereiro de 2004 – Feira de Santana – BA.
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