Exercícios de Logaritmos

Nota: os enunciados das questões abaixo foram publicados no caderno FOVEST99 da Folha de São Paulo de 03.10.98. Vamos resolve-las!

1 – O volume de um líquido volátil diminui de 20% por hora. Após um tempo t, esse volume fica reduzido à décima parte. Usando log2 = 0,30, podemos concluir que:

a) t = 8h
b) t = 9h
c) t = 10h
d) t = 12h
e) t = 15h

SOLUÇÃO: Seja V_t o volume do líquido no tempo t. Teremos:
V₀ = V
V₁ = (0,8).V
V₂ = (0,8) . V₁ = (0,8)² . V
V₃ = (0,8) . V₂ = (0,8)³ . V
Observando as expressões acima, não deve ser difícil concluir que:
V_t = (0,8)^t . V
Como V_t = V/10 (dado do problema), vem: V/10 = (0,8)^t . V
Cancelando o fator comum V, fica: 1/10 = (0,8)^t \ 1/10 = (8/10)^t
Pela definição e propriedades dos logaritmos, vem:

Portanto, resposta t = 10h e a alternativa correta é a de letra C.

2 – Se log₂log₂log₂x = 2, quantos dígitos tem o número x no sistema decimal?

a) 5
b) 7
c) 9
d) 11
e) 13

SOLUÇÃO:
Sabemos que se log_bN = x então b^x = N.
Teremos então:
log₂(log₂log₂x) = 2 \ log₂log₂x = 2² = 4
Analogamente, teremos:
log₂x = 2⁴ = 16
Portanto, vem finalmente que: x = 2¹⁶
O problema agora é calcular o número de dígitos (algarismos) do número 2¹⁶.
Seja P = 2¹⁶ . Aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, vem:
logP = log2¹⁶ \ logP = 16.log2
Considerando log2 = 0,3010 (valor aproximado), fica:
logP = 16. 0,3010 = 4,816
Ora, se logP = 4,816, então o número P possui 5 algarismos (dígitos).
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
NOTA: Na aula sobre logaritmos nesta homepage, explico a passagem acima. Mas, vou dar uma dica aqui mesmo:
Se log N = c,mnz..., onde c > 0 é a parte inteira do logaritmo decimal (comumente conhecida como característica do logaritmo decimal ) , podemos afirmar que N possui c+1 algarismos.
Exemplos:
logP = 2,3012 Þ P possui 3 algarismos
logN = 5,978 Þ N possui 6 algarismos
logM = 35,7856 Þ M possui 36 algarismos.

3 – FUVEST – A figura mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor
de b é:

a) 1/4
b) 2
c) 3
d) 4
e) 10

SOLUÇÃO:
Do gráfico acima, é imediato que: log_b 0,25 = -1 \ b ^–1 = 0,25 \ 1/b = 0,25
Portanto, b = 1/0,25 = 4. Logo a alternativa correta é a da letra D.

Paulo Marques, Feira de Santana - BA - 13/10/1998

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