Terremoto : dois problemas.

1) UEFS 2000.2 – A escala Richter é usada, desde 1935, para medir a intensidade de um terremoto através da fórmula 
I = (2/3).log₃(E / k), em que E é a energia liberada pelo terremoto; k, uma constante, sendo E e k medidas em kWh – quilowatt-hora. Sabendo-se que, em duas cidades, X e Y, foram registrados terremotos que tiveram intensidades iguais a, respectivamente, 4 e 8 na escala Richter e sendo E_x a energia liberada em X e  E_y a energia liberada em Y, pode-se afirmar:
A) E_y = 2E_x
B) E_y = 2⁸E_x
C) E_y = 3²E_x
D) E_y = 3³E_x
E) E_y = 3⁶E_x

Nota: UEFS - Universidade Estadual de Feira de Santana.

Solução:

Temos que I_X = 4  e I_Y = 8, pelo enunciado do problema.

Substituindo na fórmula do enunciado, vem:

4 = (2/3).log(E_X / k) \4 / (2/3) = log(E_X / k)  \ log₃(E_X / k) = 6
8 = (2/3).log(E_Y / k) \8 / (2/3) = log(E_X / k)  \ log₃(E_Y / k) = 12

Já sabemos de Logaritmos que se log_bN = x, então b^x = N.

Logo,

De  log₃(E_X / k) = 6   tiramos E_X / k = 3⁶
De  log₃(E_Y / k) = 12 tiramos E_Y / k = 3¹²

Dividindo membro a membro as expressões em azul negrito acima, fica:

(E_X / k) / (E_Y / k) = 3⁶ / 3¹²

Efetuando as divisões indicadas no primeiro e segundo membros, vem:
Nota: lembre-se que para dividir duas frações, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda. Teremos então:
E_X / E_Y = 3^6-12 = 3^-6 = 1 / 3⁶
Nota: Lembre-se que a^-n = 1 / aⁿ

Daí vem imediatamente que:

E_X / E_Y = 1 / 3⁶ Þ E_Y / E_X = 3⁶ Þ E_Y = 3⁶.E_X

Concluímos pois, que a alternativa correta é a de letra E de Errado , ra ra ra ra ....
Brincadeira à parte, E é a alternativa correta.

Nota: A escala logarítmica Richter foi criada em 1935 pelo norte-americano Charles Richter (1900 – 1985), para avaliar a energia liberada nos terremotos. Sabe-se que um terremoto medindo 5 graus na escala Richter pode ser destrutivo; nunca foi registrado um terremoto de intensidade 10. Consta que o terremoto no Japão em 11/3/2011, atingiu 8,9 na escala Richter, tendo sido portanto, de grande magnitude.

2) Foi amplamente divulgado que o terremoto de 11 de março de 2011 no Japão, teria deslocado o eixo da Terra em 25 centímetros. Pede-se determinar o deslocamento angular correspondente.

Solução:  Considere a figura a seguir onde o arco  BU  mede 25 cm e o raio da Terra (considerada esférica) seja BO = UO = 6400 km. (O raio da Terra Média mede aproximadamente 6400 quilômetros).

Já sabemos da Trigonometria que a medida de  um ângulo central (em radianos) é igual ao quociente entre o comprimento do arco e o raio do círculo correspondente. Então, na figura acima teremos:
Arco BU -----> mede 25 cm, conforme enunciado da questão.
Raios BO e UO -----> medem 6400 km (comprimento do raio médio da Terra). Então, a medida do ângulo central UÔB (vértice em O) o qual desejamos calcular, será igual a:

UÔB = BU / BO 

Nota: BU e BO devem estar expressos na mesma unidade; então, vamos expressar tudo em centímetros. Teremos: BU = 25 cm (dado no problema) e UO = 6400 km = 6 400 000 m = 640 000 000 cm, já que 1 km = 1000 m  e 1m = 100 cm.

Nestas condições, teremos:

UÔB = 25/640 000 000 radianos, que simplificado resulta em UÔB = 1/25 600 000 radianos

Para termos uma percepção mais apurada da medida acima em radianos, vamos transformá-la em graus sexagesimais; já sabemos que:
¶ radianos = 180º 
Então 1/25 600 000 radianos valerá  xº (x graus). Logo, por regra de três, tiramos:

x = (1/ 25 600 000).(180/¶)  e como o valor de  ¶  (pi)  é aproximadamente 3,1416, teremos finalmente, após efetuar as operações indicadas: x = 0,000 00224 º . 

Vemos que o deslocamento angular correspondente é um número muito pequeno e equivalente a aproximadamente "2,24 milionésimos de um grau" (2,24.10^-6 grau). 

Em resumo: um deslocamento linear do eixo da Terra igual a 25 cm, resultaria num deslocamento angular desse mesmo eixo, em aproximadamente 2,24 milionésimos de um grau.

Agora resolva este:

Considerando as mesmas condições do problema anterior, calcule o deslocamento angular para o caso de um deslocamento linear de 10 centímetros no eixo da Terra. Dado: raio da Terra Média = 6400 km.

Resposta: aproximadamente 1 milionésimo de um grau.

Nota: Como é sabido que os padrões climáticos conhecidos como estações (Verão, Outono, Primavera e Inverno), dependem da inclinação do eixo da Terra em relação ao Sol, poderemos inferir que qualquer mudança angular no eixo da Terra, poderá ter influência no clima. Trata-se entretanto de uma mera conjectura minha, a qual entretanto, parece-me verdadeira.    

Paulo Marques, 28/8/2001 – Feira de Santana – BA. Editado e ampliado em 12/03/2011.

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