Letícia e um problema

Resolva a equação abaixo em R (conjunto dos números reais) :
log16x + logx2 = 5/4

Nota:
problema enviado para solução, pela visitante do site, Letícia do Brasil.

Solução:


Sabendo-se que:

logbN = logaN / logab
   (fórmula da mudança de base),
poderemos escrever para log16x :
log16x = log2x / log216 = log2x / 4, uma vez que log216 = 4, pois 24 = 16.

Substituindo na expressão original, vem:
logx2 + log2x / 4 = 5/4

Multiplicando ambos os membros por 4, (para eliminar o denominador 4), fica:
4.logx2 + log2x = 5

Lembrando que logba = 1 / logab , entenderemos facilmente que
logx2 = 1 / log2x

Substituindo novamente, vem:
4 / log2x  + log2x = 5

Fazendo log2x = y (uma mudança transitória de variável), vem:
4 / y + y = 5

Supondo y
¹ 0, poderemos multiplicar ambos os membros da igualdade acima por   y, 
para eliminar o denominador y.

Teremos então:
4 + y2 = 5y , ou passando 5y para o primeiro membro:
y2 – 5y + 4 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontraremos:
y = 4 ou y = 1

Ora, já sabemos que y = log2x (devido à mudança de variável feita acima) e, portanto:
log2x = 4  OU   log2x = 1

Daí, da definição de logaritmo,  concluímos inevitavelmente que:
x = 24  ou  x = 21 
\ x = 16 ou x = 2.

Logo, o conjunto solução (ou conjunto verdade) do problema apresentado é:
S = { 2; 16 }.


Paulo Marques, 29 de março de 2002 – Feira de Santana - BA

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