Somando termos de uma PA finita de inteiros ímpares, positivos ou não |
Determine
os termos da progressão
aritmética finita formada por números inteiros,
ímpares, positivos ou negativos, sabendo-se que a soma
dos termos é igual a 73.
Nota:
este problema caiu no IME - Instituto Militar de Engenharia em 1998.
Solução:
Conjunto
dos números ímpares: {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5,
7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...}
Um número ímpar
qualquer, pode ser representado por 2k + 1, onde k é um
número inteiro.
Supondo que o primeiro termo da PA
seja a1 = 2k + 1, e como trata-se de números
ímpares, a razão da progressão é igual a
2. Os termos seguintes da PA serão então a2
= 2k + 3, a3 = 2k + 5, e assim sucessivamente. A PA finita
procurada é então da forma: (2k + 1, 2k + 3, 2k + 5,
... an) onde an é o termo de ordem
n.
Vamos determinar o termo de ordem n:
Sabemos que
an = a1 + (n 1).r
Daí,
substituindo os valores conhecidos, vem:
an = (2k +
1) + (n 1).2 = 2k + 1 + 2n -2 = 2k + 2n 1 = 2(k + n) -
1
A PA é então: [2k + 1, 2k + 3, 2k + 5, ... 2(k +
n) 1]
Substituindo os valores conhecidos na fórmula
da soma dos n primeiros termos de uma PA, e lembrando que foi dado no
enunciado que Sn = 73 vem:
Portanto, temos: (2k
+ n)n = 73
Efetuando o produto indicado, fica: 2kn
+ n2 = 73 Þ
2kn = 73 n2
Da igualdade
anterior podemos dizer que:
2k = (73 n2)
/ n = (73 / n) (n2 / n) = (73
/ n) n
Ora, como já vimos anteriormente que
a1 = 2k + 1, teremos que 2k = a1 1 .
Substituindo o valor de 2k na expressão obtida acima,
fica:
a1 1 = (73 / n) n
ou seja: a1 = (73
/ n) n + 1
Observe que n é o número de
termos da PA e, portanto, um número inteiro maior do que 1.
Sabemos também que a1 é um número
inteiro, já que é ímpar. Logo, os valores de n
terão que ser tais
que o quociente (73
/ n) seja também um inteiro.
É
óbvio então, que os únicos valores possíveis
para n serão:
n = 7
n = 72
n = 73
Vamos então atribuir
estes 3 valores a n na expressão a1
= (73 / n)
n + 1 .
Para n = 7, vem: a1 = (73
/ 7) 7 + 1 = 72 7 + 1 = 49 7 + 1 =
43
Para n = 72, vem: a1 = (73 /
72) 72 + 1 = 7 49 + 1 = 8
49 = - 41
Para n = 73 , vem: a1 = (73
/ 73) 73 + 1 = 1 343 + 1 =
2 343 = -341
Ora, conhecidos a1 e a razão
r = 2, poderemos escrever as seguintes progressões aritméticas
que resolvem a questão:
Para n = 7, a1 =
43 e r = 2: PA: (43, 45, 47, 49, 51, 53, 55).
Para n = 72
= 49, a1 = -41 e r = 2, teremos
an = a49
= -41 + (49 1).2 = -41 + 48.2 = -41 + 96 = 55
Então
a PA é: (-41, -39, -37, -35, ... , 55)
Para n = 73
, a1 = -341 e r =2, teremos
an = a343
= -341 + (343 -1).2 = -341 + 342.2 = -341 + 684 = 343
Então
a PA é: (-341, -339, -337, ... , 343)
Portanto, as três
progressões aritméticas que respondem ao problema
são:
Com 7 termos: (43, 45, 47, 49, 51, 53, 55).
Com 49
termos: (-41, -39, -37, -35, ... , 55)
Com 343 termos: (-341,
-339, -337, ... , 343)
Agora resolva
estes:
1 Determine a soma dos termos da PA: (43,
45, 47, 49, 51, 53, 55).
Resposta: 73 = 343
2
Determine a soma dos termos da PA: (-41, -39, -37, -35, ... ,
55)
Resposta: 73 = 343
3 Determine a soma
dos termos da PA: (-341, -339, -337, ... , 343)
Resposta: 73
= 343
Paulo
Marques, 06 de julho de 2006 Feira de Santana Bahia