ITA 1993 – Possuo três jarros idênticos e desejo ornamentá-los com 18 rosas, sendo 10 vermelhas e 8 amarelas. Desejo que um dos jarros tenha 7 rosas e os outros dois, no mínimo 5 rosas. Cada um deverá ter, pelo menos, duas rosas vermelhas e uma amarela. Quantos arranjos florais poderei fazer usando as 18 rosas?

A) 10    
B) 11    
C) 12    
D) 13       
E) 14

Solução:

Sejam os jarros J₁, J₂ e J₃.
Pelos dados do enunciado, temos:

a) um dos jarros deverá ter 7 rosas; seja J₁ este jarro. Poderemos ter as seguintes combinações, lembrando que existe uma outra condição dada no enunciado, de que cada jarro tenha no mínimo duas rosas vermelhas e uma amarela:
1) 5 A + 2V (cinco rosas amarelas e duas vermelhas).
2) 4 A + 3V (quatro rosas amarelas e três vermelhas)
3) 3 A + 4V (três rosas amarelas e quatro vermelhas)
4) 2 A + 5V (duas rosas amarelas e cinco vermelhas)
5) 1 A + 6V (uma rosa amarela e seis vermelhas)

b) nos outros dois jarros J₂ e J₃ deverão ser distribuídas as
18 – 7 = 11 rosas restantes, obedecendo-se o critério de que em cada jarro tenha no mínimo 5 rosas, sendo pelo menos duas vermelhas e uma amarela.
Vamos supor 6 rosas no jarro 2 e 5 rosas no jarro 3.
Temos então que, partindo das cinco composições possíveis para o jarro J₁ (item (a) acima), dividir convenientemente
as rosas restantes, observando-se as regras dadas e as suas quantidades.

Veja a  tabela abaixo, onde V = rosa vermelha e A = rosa amarela.

Situação	Jarro 1 7 rosas	Jarro 2 6 rosas	Jarro 3 5 rosas	Total 18 rosas
01	5A + 2V	1A + 5V	2A + 3V	18
02	5A + 2V	2A + 4V	1A + 4V	18
03	4A + 3V	1A + 5V	3A + 2V	18
04	4A + 3V	2A + 4V	2A + 3V	18
05	4A + 3V	3A + 3V	1A + 4V	18
06	3A + 4V	2A + 4V	3A + 2V	18
07	3A + 4V	3A + 3V	2A + 3V	18
08	3A + 4V	4A + 2V	1A + 4V	18
09	2A + 5V	4A + 2V	2A + 3V	18
10	2A + 5V	3A + 3V	3A + 2V	18
11	1A + 6V	4A + 2V	3A + 2V	18

 
Observe que na tabela acima, em cada linha, as rosas vermelham somam 10 e as rosas amarelas somam 8, conforme enunciado. Além disso, fixamos o jarro 3, como aquele que receberia o número mínimo de rosas (cinco), restando as seis rosas para serem distribuídas convenientemente no jarro 2, já que no jarro 1, deveriam ficar sete rosas, ou seja: 7 + 6 + 5 = 18, que é o número total de rosas. Vemos da tabela acima, que existem 11 possibilidades que satisfazem ao problema dado.

A melhor maneira, entretanto, de esquematizar a solução deste interessante problema, é construir uma árvore de possibilidades conforme indicado a seguir, tendo em mente o cumprimento das condições impostas nos itens (a) e (b) supra.

Portanto, a resposta ao problema é a alternativa B, ou seja, são possíveis 11 arranjos florais, obedecendo às condições dadas no enunciado do problema.

Agora resolva estes dois:

1 - Possuo três jarros idênticos e desejo ornamentá-los com uma dúzia de rosas, sendo 8 vermelhas e 4 amarelas.Desejo que um dos jarros tenha 5 rosas e os outros dois, no mínimo 3 rosas. Cada um deverá ter, pelo menos, uma rosa vermelha e uma amarela. Quantos arranjos florais poderei fazer usando as 12 rosas?

A) 1    
B) 2    
C) 3    
D) 4       
E) 5

2 – Um jarro possui duas rosas amarelas, uma rosa branca e uma rosa vermelha. Fazendo-se 3 retiradas sucessivas, sem reposição, determine:
a) o número total de maneiras possíveis de se efetuar estas retiradas.
b) em quantos casos as rosas retiradas são de cores distintas?

Gabarito:
1 – E (5 arranjos florais).
2 – a) 12     b) 6

Sugestão: em ambos os problemas, utilizem o recurso da árvore de possibilidades.

Paulo Marques – 05/01/2001 – Feira de Santana - BA.

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