Campeonato brasileiro de futebol 2003 – série A

No regulamento do campeonato brasileiro de futebol 2003 , está escrito:

Art. 1 – O campeonato brasileiro da Série A será disputado pelas vinte e quatro associações que o integram, na forma destas normas.
...
Art. 11 – O campeonato será disputado no sistema de pontos corridos, de forma contínua, em turno (jogos de ida) e returno (jogos de volta) , sagrando-se campeã a associação que acumular o maior número de pontos ganhos em toda a disputa .

Art. 12 – O campeonato, por ser disputado entre 24 associações, terá 46 rodadas sendo 23 no turno e 23 no returno.

Nestas condições:

a) Justifique porque serão 46 rodadas (ou 46 rondas, em português de Portugal).
b) Quantos jogos serão disputados neste campeonato?

Solução:

a) Ora, são 24 times e cada um jogará 23 vezes em cada turno.
Justificativa: nenhum time jogará contra si mesmo!
Serão 23 rodadas no primeiro turno e 23 no segundo turno.
Daí, 23 + 23 = 46.
Portanto, o campeonato terá 46 rodadas.

b) Claro que este problema é elementar, mas, tenho certeza que muitos adorarão resolvê-lo.
Vamos ao raciocínio:
No primeiro turno, cada um dos 24 times vai jogar contra os 23 restantes, mas cada jogo contempla
2 times; pelo mesmo raciocínio anterior, teremos: (24x23) / 2 = 276.
Portanto, serão 276 jogos no primeiro turno. No segundo turno, a situação se repetirá. Logo, no total,
a competição terá 276 + 276 = 552 jogos.

Vamos mostrar o mesmo resultado, por outro caminho.

Como são 24 times e cada jogo envolve 2 deles, teremos no primeiro turno o que segue:

Observe que, por exemplo, os jogos dos times A e B , A x B e B x A são iguais, ou seja, a ordem dos elementos não altera o grupamento. Temos portanto, um problema de combinações simples dos 24 elementos (times) tomados 2 a 2, ou seja: C_24,2

Ora, sabemos da Análise Combinatória que C_24,2 = 24! / (24 – 2)!.2! = 24! / (22!.2!)

Então, C_24,2 = 24.23.22! / 22!.2.2 = 552 / 2 = 276

No segundo turno, a situação se repetirá. Logo, no total da competição teremos
276 + 276 = 552 jogos

Podemos fazer a seguinte generalização, para um campeonato disputado por n times em turno e returno:
o número de jogos do primeiro turno será dado por C_n,2 . Como são dois turnos, o número total de jogos será o dobro, ou seja: 2.C_n,2 .
Como sabemos da Análise Combinatória que C_n,x = n! / (n – x)!.x! , teremos:

2.C_n,2 = 2. n! / (n – 2)!.2! = 2.n.(n – 1).(n – 2)! / (n – 2)!.2 = n(n – 1)

Portanto, o número de jogos de um campeonato com n participantes , disputado em dois
turnos será sempre igual a n(n – 1).
Nota: neste ano de 2003, foi o primeiro campeonato brasileiro de futebol na modalidade turno e returno, com pontos corridos.
Agora resolva este:

Num campeonato de futebol com 20 times, qual o total de jogos da competição, se ela é disputada em dois turnos ?
Resposta: 380 jogos

Feira de Santana, 05 de abril de 2003 – PAULO MARQUES

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