Considere uma escada de cinco degraus de dois lugares cada e que dez pessoas, sendo cinco homens e cinco mulheres vão posar para uma fotografia. De quantas maneiras distintas as dez pessoas  poderão sentar-se, com a condição de que em cada degrau fiquem duas pessoas de sexos opostos?

Solução:


Notas: 
1) a figura acima foi obtida no site da Univ. Federal do Rio Grande do Sul - UFRS. 
2) este problema foi proposto numa prova de um colégio em Feira de Santana; um amigo pediu a solução.

Sejam os homens H₁, H₂, H₃, H₄ e H₅ e as mulheres M₁, M₂, M₃, M₄ e M₅.

O primeiro dos cinco homens encontrará a escada totalmente vazia e, portanto, terá dez opções de escolha entre as dez posições inicialmente disponíveis. Restam, portanto  nove lugares. Qual o número de escolhas do segundo homem? Um erro comum seria responder exatamente nove. Observe que o segundo homem só terá apenas oito opções de escolha pois, uma vez que o primeiro homem escolheu a sua posição, ao seu lado deverá sentar uma mulher, conforme enunciado do problema. Daí só restarem oito opções de escolha para o segundo homem. Pelo mesmo raciocínio anterior, o terceiro homem terá apenas seis opções de escolha, o quarto homem, quatro opções e o quinto homem apenas duas opções.

Já as mulheres, lembrando a condição de que em cada degrau existirá um homem sentado, a primeira mulher terá cinco opções de escolha, a segunda terá quatro opções, a terceira terá três opções, a quarta terá duas opções e finalmente a quinta mulher terá apenas uma opção de escolha.

 

Então, pelo Princípio Fundamental da Contagem – PFC  o número total de possibilidades será igual a
N = 10.8.6.4.2.5.4.3.2.1 = (10.8.6).(4.2.5).(4.3.2.1) = 480.40.24 = 480.960 = 460800.

Resposta: 460800 maneiras.

Vamos agora resolver o mesmo problema anterior, considerando que a escada possui apenas dois degraus e que são quatro pessoas: dois homens e duas mulheres. Com este número reduzido de pessoas, poderemos até contar diretamente. O objetivo é comprovar o método utilizado acima. Vejamos:

Utilizando o mesmo raciocínio anterior, o primeiro homem terá quatro opções de escolha , já que a escada possui 4 lugares e o segundo terá apenas duas opções, pois dos três lugares que restam, um será necessariamente ocupado por uma mulher, conforme foi dito no enunciado.

 Já a primeira mulher terá duas opções e a segunda, evidentemente apenas uma opção. Então, o número total de possibilidades será igual a M = 4.2.2.1 = 16. Portanto, são 16 possibilidades. Isto pode ser comprovado contando diretamente, conforme mostrado  a seguir, onde os homens foram nomeados como H₁ e H₂ e as mulheres como M₁ e M₂. Vemos que são realmente 16 formas distintas para as pessoas se sentarem na escada de dois degraus.


H1-M1                       H1-M2                       H2-M1                       H2-M2

H2-M1                       H2-M1                       H1-M2                       H1-M1

 

M1-H1                       M2-H1                       M1-H2                       M2-H2

M2-H2                       M1-H2                       M2-H1                       M1-H1

 

M1-H1                       M2-H1                       H1-M1                       H1-M2

H2-M2                       H2-M1                       M2-H2                       M1-H2

 

M1-H2                       M2-H2                       H2-M1                       H2-M2

H1-M2                       H1-M1                       M2-H1                       M1-H1

Nota: a tabela acima mostra todas as formas possíveis das quatro pessoas se sentarem na escada, de forma que em cada degrau estejam um homem e uma mulher, de acordo com o enunciado do problema.  
                   

 

PAULO MARQUES - Feira de Santana - BA – 25/08/2007. Editado em 07/03/2011.