TrÍs cŪrculos tangentes entre si

Determine o di‚metro X na figura abaixo, sabendo-se que os tres cŪrculos s„o tangentes entre si.

SoluÁ„o:

Observando atentamente a figura abaixo, podemos escrever:

No tri‚ngulo isůsceles ABC, teremos aplicando a lei dos cosenos:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC. cos(B¬C)
(2r)2 = (50 - r)2 + (50 - r)2 - 2.(50 - r).(50 - r) . cos 120ļ

Nota: cos 120ļ = - 1 / 2.
4r2 = (50 - r)2 + (50 - r)2 + (50 - r)2
4r2 = 3(50 - r)2
4r2 / 3 = (50 - r)2
(2r /
÷ 3)2 = (50 - r)2
2r /
÷ 3 = 50 - r
2r = 50
÷ 3 - ÷ 3.r
2r +
÷ 3.r = 50.÷ 3
r(2 +
÷ 3) = 50. ÷ 3
DaŪ, vem:
r = 50.
÷ 3 /(2 + ÷ 3)
Racionalizando o denominador, vem:
r = 50(2
÷ 3 - 3)
O di‚metro, sendo o dobro do raio, vem, finalmente:
X = 100(2
÷ 3 - 3)

Portanto, o di‚metro procurado ť igual a X = 100(2÷ 3 - 3) mm , que corresponde a aproximadamente
46,41 mm.

PAULO MARQUES - Feira de Santana - BA - nos idos de novembro de 1997, com revis„o em 30/09/06.

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