Trigonometria VIII

Exercícios Resolvidos

1) Se sen3x + senx = cos3x + cosx, então:
a) senx = 0
b) cosx = 0
c) tgx = 1
d) sen2x = 1
e) tg2x = 1

Solução: 
Vamos usar as fórmulas de transformação em produto, vistas na aula anterior. Reveja as fórmulas se necessário, em Trigonometria VII.

Teremos:

Simplificando, vem:
2.sen2x.cosx = 2.cos2x.cosx. Ora, daí vem, simplificando:
sen2x = cos2x e, portanto, sen2x / cos2x = 1 Þ tg2x =1.
Portanto a igualdade dada equivale à igualdade tg2x = 1. Logo, letra E.
Nota: Lembre-se que sen h / cos h = tg h.

2) Determine o período da função y = sen20x.cos10x + sen10x.cos20x.

Solução:
 
Sabemos que sena.cosb+senb.cosa = sen(a+b). 
Logo,
sen20x.cos10x+sen10x.cos20x = sen(20x+10x) = sen30x
Portanto, a função dada é equivalente a y = sen30x.
Mas, o período de uma função da forma y = senbx é dado por T = 2p / b.
Logo, o período da função dada será: T = 2p / 30 = p /15 radianos.
Resposta: o período da função é igual p /15 rad.

3) Qual o valor máximo da função y = f(x) definida por:

Solução:
 
Sabemos que cosx.cos4x - senx.sen4x = cos(x+4x) = cos5x
Para concluir isto, basta lembrar da fórmula do cosseno da soma!
Portanto, podemos escrever:

Para que y seja MÁXIMO, devemos ter 100+cos5x = MÍNIMO.
É claro que isto ocorrerá para cos5x = -1.
Logo, o valor máximo da função será: y = 100 / (100 - 1) = 100/99.

Resposta: 100/99.

4) Seja dada a função y = f(x), definida por:

Nestas condições, pede-se calcular o valor de y = f(p /17).

Solução:

Vamos transformar em produto o denominador da função:

Mas, cos13x = cos(17x - 4x) = cos17x.cos4x + sen17x.sen4x.
Como x = p /17, vem imediatamente que 17x = p . Logo, substituindo vem:
cos13x = cosp .cos4x + senp .sen4x = -1.cos4x + 0.sen4x = - cos4x
Já que cos13x = - cos4x , para x = p /17, substituindo, vem finalmente:
y = - cos4x / (2.cos4x) = -1/2.

Resposta: y = - 1/2.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA, nos idos de setembro 1997, com revisão em 30/09/06.

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