Sistema de coordenadas polares

Já conhecemos o sistema de coordenadas cartesianas, noção introduzida por René Descartes – filósofo e matemático francês, 1596 – 1650, criador dos fundamentos da Geometria Analítica.

Vamos agora, conhecer o sistema de coordenadas polares, as quais vinculam-se com as coordenadas cartesianas, através de relações trigonométricas convenientes. 

Seja O um ponto do plano e considere uma semi-reta de origem O. Denominemos o ponto O de pólo e a semi-reta, de eixo polar.

Um ponto qualquer P neste sistema, poderá ser univocamente determinado, através da distância do ponto P ao ponto O , e do ângulo q formado entre o segmento de reta OP e o eixo polar.

Adotando-se por convenção, o sentido trigonométrico para o ângulo q , ou seja, o sentido anti-horário, no qual os ângulos são considerados positivos, podemos construir a figura abaixo:

 

Observe que o ponto P de coordenadas cartesianas P(x,y), pode ser também ser expresso pelas suas coordenadas polares correspondentes P(r,q), onde, pela figura acima, pode-se escrever:
x = r.cosq
y = r.senq 

A distancia OP = r é denominada raio vetor e o ângulo q é denominado ângulo polar. 
Quadrando as duas expressões acima e somando membro a membro, vem:
x² + y² = r².cos²q + r².sen²q = r²(cos²q + sen²q) = r²
Observe que cos²q + sen²q = 1, a relação fundamental da Trigonometria. 
Analogamente, temos que tgq = y/x , no triângulo retângulo da figura acima. 
Em resumo, teremos:
x² + y² = r² , com r ³ 0, já que OP = r é uma distância e portanto, um valor positivo ou nulo, e, tgq = y/x  

Exemplos:  

a) considere o ponto P(1,1). As suas coordenadas polares serão P(Ö2,p/4), pois:
r²= 1² + 1² = 2  \ r = Ö2
tg q = y/x = 1/1 = 1 \ q = p/4 radianos.

b) considere o ponto P(1,0). As suas coordenadas polares serão P(1,0), pois:
r² = 1² + 0² = 1 \ r = 1
tg q = y/x = 0/1 = 0 \ q = 0 radianos.  

c) considere o ponto P(0,1). As suas coordenadas polares serão P(1, p/2), pois:
r² = 0² + 1² = 1 \ r = 1
tg q = y/x = 1/0. Sabemos que não existe a divisão por zero , mas podemos verificar neste caso que o ponto P(0,1) situa-se no eixo dos y e, portanto, q = 90º = p/2 radianos. 

Vamos agora, desenhar alguns gráficos de curvas expressas através das suas coordenadas polares. 

1 – Esboçar o gráfico da curva  r = 2q. 
Inicialmente, vamos construir uma tabela, onde vamos atribuir valores a q (em radianos) e calcular o valor correspondente de r. 

q (em graus)	0	30º	45º	60º	90º	135º	180º	270º	360º
q (em radianos)	0	p/6	p/4	p/3	p/2	3p/4	p	3p/2	2p
r = 2q	0	p/3	p/2	2p/3	p	3p/2	2p	3p	4p
r = 2q (aprox.)	0	1,05	1,57	2,10	3,14	4,71	6,28	9,42	12,56

 Plotando (locando ou marcando) os pontos obtidos acima, obteremos a curva a seguir, denominada Espiral de Arquimedes. 
De uma forma geral, a equação polar da forma r = a.q onde a é uma constante, representa uma curva denominada Espiral de Arquimedes.

 

 2 – Esboçar a curva r = 2(1 + cosq). 
Analogamente, obteremos a curva abaixo, denominada cardióide.

 De uma forma geral, as equações da forma r = 2a(1 + cosq) onde a é uma constante, são curvas denominadas Cardióide. 

3 – Esboçar a curva r = 2/q.
Analogamente, obteríamos a curva abaixo, denominada Espiral Hiperbólica.

De uma forma geral, as equações da forma r = a/q onde a é uma constante, são curvas denominadas Espirais hiperbólicas.

 4 – Esboçar a curva r² = 4.cos(2q). 
Analogamente, obteremos a curva abaixo, denominada Lemniscata de Bernoulli.
De uma forma geral, as equações da forma r² = a².cos(2q), onde a é uma constante, representam curvas denominadas Lemniscata de Bernoulli.

 

   
5 – Esboce a curva r = 4.
Verifique você mesmo, que teremos neste caso, uma circunferência de raio 4. 
Nota: as figuras acima foram executadas pelo meu filho Rafael Marques,14. 

Paulo Marques – Feira de Santana – BA, 05  de agosto de 2000 - editado em 26/05/2012. 
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