1, 2, 3 e 4

Compor a equação cujas raízes são 1, 2, 3 e 4.

Solução:

Como a equação possui 4 raízes, ela é do quarto grau e a sua forma geral é:
a0 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 = 0

Considerando a sua forma mais simples, podemos, sem nenhum prejuízo, considerar a0 = 1, e a equação fica:  
x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 = 0


Sendo as raízes x1 = 1,  x2 = 2, x3 = 3 e x4 = 4, podemos escrever as seguintes 
Relações de Girard
, conforme teoria já vista em Equações Algébricas:

a) Soma das raízes
x1 + x2 + x3 + x4 = - a1  \ 1 + 2 + 3 + 4 = - a1  \ a1 = -10

b) Produto das raízes tomadas duas a duas
x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = a2  \
1.2 + 1.3 + 1.4 + 2.3 + 2.4 + 3.4 = a2  \ a2 = 35

c) Produto das raízes tomadas três a três
x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = - a3  \
1.2.3 + 1.2.4 + 1.3.4 + 2.3.4 = - a3  \ 50 = - a3   \  a3 = - 50


d) Produto das raízes
x1.x2.x3.x4 = a4  \ 1.2.3.4 = a4  \ a4 = 24

Portanto, a equação procurada é:

x4 – 10 x3 + 35 x2 – 50 x + 24 = 0

Agora resolva esta:

Compor a equação cujas raízes são 2, 3 e 4.
Resposta: x3 – 9x2 + 26x – 24 = 0

Paulo Marques, Feira de Santana – BA , 08 de setembro de 2001. 

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