Tranformações Afins na Reta II

Vimos na Parte I, o conceito de translação que é um dos tipos de transformação afim na reta. Veremos a seguir, os conceitos de SIMETRIA CENTRAL e de HOMOTETIA na reta, sendo aconselhável entretanto que você faça uma revisão da Parte I já publicada neste site, para efeito de fixação de conceitos.

1 - Simetria central na reta
Seja C um ponto fixo de uma reta r. A transformação geométrica que a cada ponto de PÎ r associa um outro ponto P' Î r tal que 
P' - A = A - P , é uma simetria de centro C. Sendo x' a abcissa de P', c a abcissa do centro de simetria C e x a abcissa do ponto P, conforme figura abaixo, poderemos escrever:

P' - C = C - P ou em termos de suas abcissas: x' - c = c - x , donde concluímos a fórmula fundamental da simetria central na reta: 
x' = 2c - x

Por exemplo, se P é um ponto de abcissa x = 10, então o transformado de P por uma simetria de centro no ponto C de abcissa c = 4 será o ponto P' de abcissa x' dada por x'=2.4 - 10 = -2, ou seja -2 é o transformado do ponto 10 pela simetria de centro 4.
Como vimos na parte I, as transformações afins na reta são descritas de uma forma genérica por uma equação do 1º grau da forma x'= ax+b. Comparando com a equação da simetria (x' = 2c - x), concluímos que neste caso, como também podemos escrever x'= -x + 2c, teremos então a = -1 e b = 2c.

NOTA: Na fórmula da simetria, sendo c = 0, obteremos x' = - x, ou seja, - x é o simétrico de x em relação à origem (abscissa nula).

1.1 - Composição de duas simetrias centrais

Sejam as simetrias S₁ e S₂ definidas respectivamente pelas suas equações genéricas
x' = S₁(x) = 2c₁ - x e x' = S₂ (x)= 2c₂ - x.
Vamos determinar a simetria composta S₁ o S₂.
Teremos:
S₁ o S₂ (x) = S₁[S₂(x)] = S₁[2c₂ - x] = 2c₁ - (2c₂ - x) = x + 2(c₁ - c₂)
Observe que x+2(c₁-c₂) é do tipo x + u onde u = 2(c₁- c₂), que é a fórmula da translação e portanto, concluímos que a composição de duas simetrias resulta numa translação.

Exercício resolvido:

UFBA-72) A composição das simetrias s e s₁, de centros -1/2 e 3/2, respectivamente, é:

a) uma translação de vetor 2
b) uma translação de vetor 4
c) uma translação de vetor - 4
d) uma simetria de centro 4
e) nenhuma das alternativas anteriores é válida

SOLUÇÃO:

Temos:
s(x) = 2(-1/2) - x = -1 - x
s₁(x) = 2(3/2) - x = 3 - x
Vem então: sos₁(x) = s[s₁(x)]=s[3-x]= -1 - (3-x) = x - 4, portanto uma translação de vetor -4.
Vamos agora determinar a transformação composta s₁os. Vem:
s₁os(x) = s₁[s(x)]=s₁[-1- x]=3-(-1 - x)= x + 4, portanto uma translação de vetor 4.
Observe aqui a sutileza da interpretação das respostas. Como o problema solicitou a composição de s com s₁ nessa ordem, isto significa que ele quer o cálculo de s₁os e não sos₁! Lembre-se do curso de funções que quando solicitamos determinar a composição da função f com a função g, na verdade o símbolo correto é gof. Assim, concluímos pois, que a alternativa correta é a letra B. Perceberam?

NOTA: do exercício anterior, concluímos que a composição de simetrias não é uma operação comutativa, pois sos₁ ¹ s₁os.
Como a composição de duas simetrias não é outra simetria e sim uma translação, concluímos também que o conjunto das simetrias não goza da propriedade de FECHAMENTO em relação à operação "composição".

Exercícios resolvidos:

1 - Prove que a composição da simetria de centro c, S(x) = 2c - x com a translação de vetor u, T(x) = x + u, é uma simetria de centro c + u/2.

SOLUÇÃO:
Observe que pelo enunciado, devemos determinar ToS (e não SoT).
Portanto: ToS(x) = T[2c - x] = (2c - x) + u = 2c + u - x = 2[c + u/2] - x e portanto uma simetria de centro c+u/2, como queríamos demonstrar (c.q.d).

2 - Agora prove você mesmo que a composição de uma translação de vetor u,
T(x) = x+u com a simetria de centro c, S(x) = 2c - x, é uma simetria de centro no ponto de abcissa c - u/2.
Sugestão: observe que agora você terá que calcular SoT.
Observe também que SoT ¹ ToS, o que nos indica que a operação não é comutativa.

3 - Prove que a inversa de uma simetria é a própria simetria.

SOLUÇÃO:

Seja a simetria S(x) = 2c - x. Vamos obter a sua inversa, ou seja, S^-1.
Temos: S(x) = x'= 2c - x, que é a fórmula fundamental da simetria na reta.
Logo, para determinar a sua inversa, lembrando do curso de funções já visto nesta home page, basta permutar as variáveis x' e x. Logo:
x'= 2c - x \ permutando x por x' e vice versa vem:
x = 2c - x' Þ x + x' = 2c de onde concluímos que x' = 2c - x, que é a própria simetria. 

Paulo Marques - Feira de Santana - BA, 18 de março de 1995.

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