Rumo ao Hexa na Copa 2010 e outros investimentos no rec˘ncavo baiano

1 – UFRB 2006 - Dois investimentos a uma mesma taxa mensal de juros compostos, porém com capitais iniciais e prazos distintos, resultaram  em um mesmo montante.
Sabendo  que o capital inicial de um dos investimentos é 21 % maior que o outro e que foi aplicado a um prazo de dois meses menor, em termos percentuais, a taxa mensal de juros do investimento é igual a:

a) 5%           
b) 8%         
c) 10%               
d) 20%                
e) 9%

Notas:
I - UFRB – Universidade Federal do Recôncavo Baiano
II – Recôncavo – é conhecida desde o século XVI como sendo a faixa de terra formada por mangues, baixios e tabuleiros que contornam a Baía de Todos os Santos na BAHIA.

SOLUÇÃO:

Recomendamos enfaticamente que você revise Juros Compostos.
Sejam C0 e P0 os capitais iniciais, aplicados a uma mesma taxa de juros i , por m e n períodos, respectivamente.
Supondo que o investimento C0 é o maior, ou seja: C0 > P0 ,  poderemos escrever de acordo com o enunciado:

C0 = P0 + 21% . P0 = P0 + (21/100). P0 = P0 + 0,21. P0 = 1,21. P0
Ainda segundo o enunciado, C0 foi aplicado por um prazo m de dois meses menor, ou seja: m = n – 2.
Já sabemos que um capital M0 aplicado por t períodos a uma taxa de juros compostos i, irá gerar o montante M dado por: M = M0. (1 + i)t.

No nosso caso presente, poderemos então escrever:
C = C0. (1 + i)m = 1,21. P0. (1 + i)n – 2
P = P0. (1 + i)n

Como é dito no enunciado que os montantes resultaram iguais, então C = P.

Igualando as expressões anteriores, vem:

1,21. P0. (1 + i)n – 2  = P0.(1 + i)n
Cancelando o fator P0 que é comum a ambos os membros da igualdade, fica:
1,21.(1 + i)n – 2  = (1 + i)n
Dividindo ambos os membros da igualdade por (1 + i)n – 2 , fica:
1,21 = (1 + i)2
Apenas para facilitar as contas, vou multiplicar ambos os membros por 100.
1,21.100 = 100.(1 + i)2
121 = 100. (1 + i)2
Considerando que 112 = 121 e que 102 = 100, vem:
112 = 102. (1 + i)2
Lembrando que para  x ³ 0, raiz quadrada de(x2) = x, vem imediatamente que:
11 = 10(1 + i)
Dividindo ambos os membros por 10, fica:
1,1 = 1 + i  \ i = 1,1 – 1 = 0,1
Portanto, i = 0,1. Como o enunciado pede o valor de i em porcentagem, teremos que multiplicar por 100 ou seja: i = 0,1.100 = 10% que é a resposta da questão, o que nos leva tranquilamente à alternativa C.

2 - No ano de 1970, quando o Brasil conquistou o TRI CAMPEONATO MUNDIAL no mês de  junho, a nossa população era igual a 90 milhões de habitantes. Neste ano 2006, em junho, mês  do provável HEXA CAMPEONATO MUNDIAL, a população segundo dados do IBGE é igual a 190 milhões de habitantes.
Nestas condições, pede-se determinar a taxa média de crescimento mensal da população brasileira no período.

SOLUÇÃO:  

Ora, de junho 1970 a junho 2006, transcorreram 2006 – 1970 = 36 anos, ou seja: 36.12 = 432 meses
Considerando que P = P0 . (1 + i)n , onde i é a taxa de crescimento por período nos n períodos, poderemos escrever:

190000000 = 90000000 . (1 + i)432  onde i é a taxa de crescimento procurada.
19 = 9 (1 + i)432
19/9 = (1 + i)432
2,11 = (1 + i)432

Para fazer a conta acima, temos três alternativas:
I – usar logaritmo decimal
II – usar uma calculadora científica (a do Windows serve)
III – usar uma calculadora financeira ( a HP 12C, por exemplo)

Vamos utilizar a opção III, considerando-se que este arquivo destina-se à seção Matemática Financeira do site.
Observe que a igualdade acima pode ser escrita como 2,11 = 1. (1 + i)432.
Tudo funciona como se tivéssemos P0 = 1 e P = 2,11, ou seja:
P0 = Valor Presente = PV (Present Value) = 1
P = Valor Futuro = FV (Future Value) = 2,11
Os comandos na HP 12C serão:
2,11     FV
1          CHS    PV
432      n
i           ENTER

A calculadora vai apresentar a mensagem RUNNING no visor e apresentará após alguns segundos o resultado procurado: 0,17

Ou seja, a taxa de crescimento mensal da população brasileira no período é igual a 0,17% a.m (0,17% ao mês).

Paulo Marques, 01 de julho de 2006, Feira de Santana - BA - Brasil 0x1 Franša ou seja: o hexa sˇ em 2010.


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