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Rumo ao Hexa na Copa 2010 e outros investimentos no recôncavo baiano |
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– UFRB 2006 - Dois investimentos a uma mesma taxa mensal de
juros compostos, porém com capitais iniciais e prazos
distintos, resultaram em um mesmo montante.
Sabendo
que o capital inicial de um dos investimentos é 21 % maior que
o outro e que foi aplicado a um prazo de dois meses menor, em termos
percentuais, a taxa mensal de juros do investimento é igual a:
a) 5%
b) 8%
c)
10%
d) 20%
e) 9%
Notas:
I - UFRB –
Universidade Federal do Recôncavo Baiano
II – Recôncavo
– é conhecida desde o século XVI como sendo a
faixa de terra formada por mangues, baixios e tabuleiros que
contornam a Baía de Todos os Santos na BAHIA.
SOLUÇÃO:
Recomendamos enfaticamente que você revise Juros
Compostos.
Sejam C0 e P0
os capitais iniciais, aplicados a uma mesma taxa de juros i ,
por m e n períodos, respectivamente.
Supondo
que o investimento C0 é o maior, ou seja: C0
> P0 , poderemos escrever de acordo com o
enunciado:
C0 = P0 + 21% . P0
= P0 + (21/100). P0 = P0 + 0,21. P0
= 1,21. P0
Ainda segundo o enunciado, C0 foi
aplicado por um prazo m de dois meses menor, ou seja: m = n
– 2.
Já sabemos que um capital M0
aplicado por t períodos a uma taxa de juros compostos
i, irá gerar o montante M dado por: M = M0. (1 +
i)t.
No nosso caso presente, poderemos então
escrever:
C = C0. (1 + i)m = 1,21. P0.
(1 + i)n – 2
P = P0. (1 + i)n
Como
é dito no enunciado que os montantes resultaram iguais, então
C = P.
Igualando as expressões anteriores, vem:
1,21.
P0. (1 + i)n – 2 = P0.(1
+ i)n
Cancelando o fator P0 que é
comum a ambos os membros da igualdade, fica:
1,21.(1 + i)n –
2 = (1 + i)n
Dividindo ambos os membros da
igualdade por (1 + i)n – 2 , fica:
1,21 = (1 + i)2
Apenas para facilitar as contas, vou multiplicar ambos os
membros por 100.
1,21.100 = 100.(1 + i)2
121 =
100. (1 + i)2
Considerando que 112 = 121 e
que 102 = 100, vem:
112 = 102.
(1 + i)2
Lembrando que para x ³
0, raiz quadrada de(x2) = x, vem imediatamente que:
11 = 10(1 +
i)
Dividindo ambos os membros por 10, fica:
1,1 = 1 + i \
i = 1,1 – 1 = 0,1
Portanto, i = 0,1. Como o enunciado pede o
valor de i em porcentagem, teremos que multiplicar por 100 ou seja: i
= 0,1.100 = 10% que é a
resposta da questão, o que nos leva tranquilamente à
alternativa C.
2
- No ano de 1970, quando o Brasil conquistou o TRI CAMPEONATO MUNDIAL
no mês de junho, a nossa população era
igual a 90 milhões de habitantes. Neste ano 2006, em junho,
mês do provável HEXA CAMPEONATO MUNDIAL, a
população segundo dados do IBGE é igual a 190
milhões de habitantes.
Nestas condições,
pede-se determinar a taxa média de crescimento mensal
da população brasileira no período.
SOLUÇÃO:
Ora, de junho 1970 a junho 2006, transcorreram
2006 – 1970 = 36 anos, ou seja: 36.12 = 432
meses
Considerando que P = P0 . (1 + i)n ,
onde i é a taxa de crescimento por período nos n
períodos, poderemos escrever:
190000000
= 90000000 . (1 + i)432 onde i é
a taxa de crescimento procurada.
19 = 9 (1 + i)432
19/9
= (1 + i)432
2,11 = (1 + i)432
Para
fazer a conta acima, temos três alternativas:
I – usar
logaritmo decimal
II – usar uma calculadora científica
(a do Windows serve)
III – usar uma calculadora financeira (
a HP 12C, por exemplo)
Vamos utilizar a opção
III, considerando-se que este arquivo destina-se à seção
Matemática Financeira do
site.
Observe que a igualdade acima pode ser escrita como 2,11
= 1. (1 + i)432.
Tudo funciona como se tivéssemos
P0 = 1 e P = 2,11, ou seja:
P0 = Valor
Presente = PV (Present Value) = 1
P = Valor
Futuro = FV (Future Value) = 2,11
Os comandos na HP 12C
serão:
2,11 FV
1
CHS PV
432
n
i
ENTER
A calculadora vai apresentar a mensagem RUNNING no visor
e apresentará após alguns segundos o resultado
procurado: 0,17
Ou seja, a taxa de crescimento mensal da
população brasileira no período é igual a
0,17% a.m (0,17% ao mês).
Paulo
Marques, 01 de julho de 2006, Feira de Santana - BA - Brasil 0x1 França ou seja: o hexa só em 2010.
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