Somas e produtos

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1  Simplifique: S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n , onde n ³ 1.

Solução:

Observe que a expressão pode ser fatorada como:

S = 2(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)

Já sabemos que a soma S_n de uma PA de primeiro termo a₁ , último termo a_n e razão r , é dada por:  
S_n = [(a₁ + a_n).n] / 2

Logo, a soma indicada vale:

S_n = [(1 + n).n] / 2 = (n² + n) / 2
Substituindo em S, vem finalmente:

S = 2.S_n = n² + n ou seja:
S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n = n² + n 
Temos então que a soma dos n primeiros números pares positivos é igual a n² + n.

2  Simplifique P = 2.4.6.8. ... . 2n, onde n é inteiro e positivo.

Solução:

Observe que a expressão pode ser reescrita como:

P = 2. (2.2) . (2.3) . (2.4) . ... 2.n

Observe que no produto acima aparece o número 2 multiplicado por ele mesmo, n vezes e portanto, igual à potência 2ⁿ . Logo, substituindo, fica:

P = 2ⁿ (1.2.3.4. ... . n)

Ora, o produto 1.2.3.4 ... .n , é justamente o fatorial de n, indicado por n! . Portanto, finalmente fica:

P = 2.4.6.8. ... . 2n = 2ⁿ.n!

Temos então, que o produto dos n primeiros números pares positivos é igual a 2ⁿ.n!.

3  Simplifique S = 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n²

Veja a solução AQUI.

Resposta: S = 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = 2n³ + 3n² + n = n(n+1)(2n+1) / 6

4  Seja a seqüência de termo geral a_n = (1/2) (Ö3/2) ^{n – 1} para n ³ 1.

Pede-se calcular o valor da soma dos infinitos termos desta seqüência.

Solução:

Inicialmente, vamos escrever os termos iniciais da seqüência:

n = 1:   a₁ = (1/2).(Ö3/2)^{1 – 1} = (1/2).(Ö3/2)⁰ = (1/2).1 = 1/2

n = 2:   a₂ = (1/2).(Ö3/2)^{2 – 1} = (1/2).(Ö3/2)¹ = (1/2).(Ö3/2)

n = 3:   a₃ = (1/2).(Ö3/2)^{3 – 1} = (1/2).(Ö3/2)²

n = 4:   a₄ = (1/2).(Ö3/2)^{4 – 1} = (1/2).(Ö3/2)³

n = 5:   a₅ = (1/2).(Ö3/2)^{5 – 1} = (1/2).(Ö3/2)⁴

e assim, sucessivamente.

Temos então que a soma procurada será igual a:

1/2 + 1/2.(Ö3/2) + 1/2.(Ö3/2)² + 1/2.(Ö3/2)³ +(Ö3/2)⁴ + ...

Colocando o fator comum 1/2 em evidencia, fica:

S = 1/2 [1 + (Ö3/2) + (Ö3/2)² + (Ö3/2)³ + (Ö3/2)⁴ + ... ]

Observe que os termos dentro de colchetes representam uma PG decrescente ilimitada de primeiro termo 
a₁ = 1 e razão q = Ö3/2 , cuja soma é dada por:

s = a₁/(1 – q) = 1/(1 – (Ö3/2)) = 2.(2+Ö3)

Substituindo vem, finalmente: S = 1/2 . 2(2 +Ö3) = 2 + Ö3

Agora resolva estes:

1  Simplifique a expressão E = (2.4.6.8. ... . 2n) / n! , n ³ 1.

Dica: use o resultado do problema 2.

Resposta: 2ⁿ

2  Seja a seqüência de termo geral a_n = (1/2) (Ö3 / 2) ^{n – 1} para n ³ 1.
Pede-se calcular o valor da soma dos termos de ordem ímpar desta seqüência.

Dica: trata-se de um problema similar ao de número 4 acima. Só que neste caso, basta somar os termos a₁, a₃, a₅, ... ou seja, os termos de ordem ímpar.

Resposta: 2

Visite também os seguintes arquivos correlatos:

Uma soma especial

9+9+99+999+ ...  (Para retornar, clique em Voltar no seu browser)
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Paulo Marques, 10 de janeiro de 2004 – Feira de Santana - BA  
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