Olhai (e olhai mesmo) os lírios do campo , enquanto ainda há tempo! E ainda há tempo!

Um grupo de abelhas, cujo número era igual à raiz quadrada da metade de todo o enxame, pousou numa rosa, deixando para trás oito nonos do enxame. Apenas um zangão desse enxame voava em torno de um lírio, atraído pela abelha rainha, que desfrutava do perfume dos lírios do campo.
Nestas condições, qual o número de abelhas do enxame?

Solução:

Seja x o número total de abelhas do enxame. Do enunciado, poderemos escrever:
a) o grupo possuía Ö (x/2) abelhas
b) ficaram para trás (8/9)x das abelhas
c) mais duas abelhas: o zangão e a rainha

A soma dos itens (a), (b) e (c) resulta em x que é o número total de abelhas do enxame.

Portanto, poderemos escrever:

(8/9)x + Ö (x/2) + 2 = x

Esta é uma equação irracional, porque  possui incógnita sob radical.

Vamos resolvê-la:
Isolando o radical no primeiro membro, vem:

Ö (x/2) = x – (8/9)x – 2
Efetuando as operações indicadas no segundo membro, fica:
Ö (x/2) = (9x / 9) – (8x / 9) – (18 / 9) = (x – 18) / 9
Ö (x/2) = (x – 18) / 9
Quadrando ambos os membros, teremos:
[Ö (x/2)]² = [(x – 18) / 9]²
De onde vem:  x / 2 = (x – 18)² / 81
Como o mínimo múltiplo comum – mmc dos denominadores 2 e 81 é 162, vem, multiplicando ambos os membros por 162:

162(x / 2) = 162[(x – 18)²] / 81]
Efetuando as operações indicadas:
81x = 2(x – 18)²

Desenvolvendo o quadrado do binômio do segundo membro, fica:
81x = 2(x² – 36x + 324)
81x = 2x² – 72x + 648
Ou escrevendo de uma forma equivalente, igualando a zero:
2x² – 72x + 648 – 81x = 0

Reduzindo os termos semelhantes em x vem:
2x² – 153x + 648 = 0
Temos então uma equação do segundo grau em x, cuja solução será dada pela fórmula de Bhaskara – matemático hindu do século XII.

Nota: você sabia que a fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele e sim por outro matemático hindu do século XI – Sridhara?

Sabemos que dada a equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, com a ¹ 0, a solução geral desta equação é dada pela célebre fórmula de Bhaskara:

x = ( - b ± Ö D ) / 2 a onde D = b² – 4ac (conhecido como discriminante da equação).

No nosso caso temos a = 2, b = -153 e c = 648
Logo, D = (-153)² – 4.2.648 = 23409 – 5184 = 18225
Fatorando o número 18225 obteremos:
18225 = 3⁶ . 5²

Portanto, D = 3⁶ . 5²
Substituindo, vem:
x = - (-153) ± Ö (3⁶ . 5²) / 2 .2
x = 153 ± (3³. 5) / 4 = (153 ± 135) / 4
Daí obtemos as raízes:
x₁ = (153 + 135) / 4 = 288 / 4 = 72
x₂ = (153 – 135) / 4 = 18 / 4 = 9 / 2
Como o problema fala em número de abelhas, somente a raiz inteira satisfaz. Aliás, você pode verificar por simples substituição que a raiz 9/2 não satisfaz à equação original (8/9)x + Ö (x/2) + 2 = x . Esta raiz estranha ao problema surgiu devido a termos elevado ambos os membros ao quadrado, a certa altura da resolução do problema. Portanto, o pequeno enxame possui 72 abelhas.

O enunciado deste problema foi baseado num problema antigo proposto por Bhaskara – matemático hindu do século XII, no célebre livro Lilavati. Sabe-se que Lilavati era o nome de sua filha.

Obtive a tradução do problema original na web, a qual apresento a seguir:

De um grupo de abelhas, a raiz quadrada de metade foi para a árvore malati. De novo oito nonos das abelhas foram para a árvore malati. Das duas restantes, uma foi apanhada numa flor de lótus, cuja fragrância a cativou; ele começou a lamuriar-se e à sua amada perguntou: Então, ó amada, quantas abelhas havia?

O título deste arquivo – Olhai os Lírios do Campo – é uma singela homenagem ao escritor – gaúcho de Cruz Alta – RS – Érico Veríssimo – 1905/1975, que publicou os seguintes romances, jóias da Literatura brasileira:
Clarissa - 1933
Caminhos Cruzados – 1935
Música ao longe
Um lugar ao sol
O resto é silêncio
Olhai os Lírios do Campo
O Tempo e o Vento (O Continente, O Retrato, O Arquipélago)
Incidente em Antares
Solo de Clarineta, entre outros.
...
Mateus 6-28:  
Olhai os lírios do campo, como crescem; não trabalham nem fiam; contudo vos digo que nem mesmo Salomão em toda a sua glória se vestiu com um deles.

Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 15 de março de 2003 - revisado e ampliado em 09/08/2009

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