Satélites orbitando nos céus de SÃO JORGE DOS ILHÉUS

1 - Dois satélites, A e B, percorrem órbitas circulares em torno da Terra, tais que o intervalo de tempo que A leva para percorrer a sua órbita é de 2,8h e o de B é de 3,5h.
Qual o tempo mínimo para A e B, juntos, voltarem a ocupar a posição que ocupavam num dado instante?
(01) 14h
(02) 7h
(03) 28h
(04) 24h
(05) 42h

Solução:

Neste enunciado, observem que a frase “qual o tempo mínimo para A e B, juntos, voltarem a ocupar a posição que ocupavam num dado instante?” deve ser interpretada como: a partir das primeiras posições de A e B num dado instante T₀, depois de quanto tempo, as mesmas posições se repetirão?

Claro que existirão infinitas repetições mas, o problema pede o tempo mínimo, ou seja, aquele correspondente à primeira repetição das posições ocupadas no dado tempo T₀.

Ora, é dito que A percorre sua órbita em 2,8h, ou seja, (2,8).60 minutos = 168 minutos.

Analogamente para B: 3,5h = (3,5).60 minutos = 210 minutos.
Portanto, as posições se repetirão para todos os tempos que sejam múltiplos comuns de 168min e 210min. Supondo que A e B estejam nas posições P_A e P_B das suas órbitas no instante T₀, essas posições irão se repetir pela primeira vez, para um intervalo de tempo igual ao Mínimo Múltiplo Comum – MMC dos respectivos tempos das órbitas de A e B.

Assim, basta determinar o MMC entre 168 e 210, para obter a resposta em minutos. Depois, é só converter para horas, conforme consta das alternativas da questão proposta.

Fatorando 168 e 210 obteremos:
Nota: fatorar um número inteiro, significa decompo-lo num produto de números primos. Veja a metodologia prática clicando AQUI. Para retornar, clique em Voltar no seu browser.

168 = 2³.3.7
210 = 2.3.5.7

Sabemos que quando os números estão escritos na forma fatorada, o MMC será igual ao produto dos termos comuns e não comuns, elevados aos maiores expoentes.
Logo, o MMC de 168 e 210 será igual a 2³.3.5.7 = 8.3.5.7 = 840 minutos, ou seja:

MMC(168, 210) = 840.
Nota: observe que 2, 3 e 7 são fatores comuns e 5 é o fator não comum aos dois números dados (168 e 210).

Como 1 hora = 60 minutos, vem que 840 minutos = 840/60 = 14 horas, que é o tempo mínimo procurado. Portanto, a alternativa correta é a de letra A .

Claro que o MMC poderia ser determinado por outro método mas, preferi esta forma para preparar o terreno para a questão a seguir. De qualquer forma, é conveniente revisar o arquivo MMC e entender bastante a solução acima, para passar para a questão seguinte.

2 - UESC 2005 – Três satélites, A, B e C, percorrem órbitas circulares em torno da Terra, tais que o intervalo de tempo que A leva para percorrer a sua órbita é de 2,8h e o de B é de 3,5h. Sabendo-se que o tempo mínimo para A e C, juntos, voltarem a ocupar a posição que ocupavam num dado instante é igual a 19,6h e, para B e C, é igual a 24,5h, conclui-se que o tempo que o satélite C leva para completar sua órbita é igual a
(01) 4,9h
(02) 9,8h
(03) 19,6h
(04) 24,5h
(05) 49,0h

Solução: Este problema – que constou do vestibular 2005 da UESC – Universidade Estadual de Santa Cruz – ILHÉUS / BA – é um pouco mais elaborado mas, conhecendo a metodologia apresentada no problema anterior, será facilmente entendida por todos, creio eu.

Inicialmente vamos converter os tempos de órbita dados, em minutos, de modo a transforma-los em números inteiros. Teremos:

Satélite A: 2,8h = 2,8 . 60 = 168 min = 2³.3.7
Satélite B: 3,5h = 3,5 . 60 = 210 min = 2.3.5.7
Satélite C: não conhecemos ainda. Trata-se da pergunta do problema.
Satélites A e C: 19,6h = 19,6 . 60 = 1176 min = 2³.3.7²
Satélites B e C: 24,5h = 24,5 . 60 = 1470 min = 2.3.5.7²

Nota: observem que já fatoramos os números inteiros encontrados, para adiantar o serviço.

Usando o mesmo raciocínio simples da questão anterior, teremos:

1 – o tempo para A e C, 1176min, é igual como já vimos antes, ao MMC entre os tempos individuais de A e C, ou seja: MMC(168, T_C) = 1176, onde T_C é o tempo de órbita do satélite C procurado.

2 – o tempo para B e C, 1176min, é igual como já vimos antes, ao MMC entre os tempos individuais de B e C, ou seja: MMC(210, T_C) = 1470, onde T_C é o tempo de órbita do satélite C procurado.

Assim, escrevendo as igualdades, na forma fatorada, vem:

MMC(168,T_C) = 1176 = 2³.3.7²
Como 168 = 2³.3.7 e já sabemos que quando os números estão escritos na forma fatorada, o MMC será igual ao produto dos termos comuns e não comuns, elevados aos maiores expoentes , concluímos que T_C deverá ser da forma T_C = 2^x.3.7² .

Analogamente,
MMC(210,T_C) = 1470 = 2.3.5.7²
Como 210 = 2.3.5.7, concluímos pelo mesmo argumento anterior que T_C deverá ser igual a
T_C = 2.3.7² (sabemos que o fator 5 não faz parte da decomposição de T_C pois já vimos acima que T_C = 2^x.3.7² , onde o 5 não comparece).
Logo, T_C = 2.3.7² = 6.49 = 294 minutos. Como 1 hora = 60 minutos vem que 294 minutos = 294/60 = 4,9 horas = 4,9h o que nos leva tranqüilamente à alternativa A .

Nota: o título atribuído ao arquivo é uma singela homenagem a JORGE AMADO – 1912/2001, magistral escritor da Bahia e do mundo, autor do romance (entre quase infinitos outros) SÃO JORGE DOS ILHÉUS, de janeiro de 1944.

Embaixo, a cidade brilha em mil lâmpadas elétricas. A voz de Sérgio Moura declama:

“Estou no cimo deste monte,
a cavaleiro da cidade.
..............................................
Dentro da noite, Ilhéus rebrilha
Qual grande búfalo fosfóreo,
caído em rútila armadilha
Como um tesouro venatório.
................................................

Trecho do romance São Jorge dos Ilhéus.
Nota: segundo o dicionário Melhoramentos - 7a. edição: venatório, adj. (l. venatoriu) . Que diz respeito à caça. 
[venatória, composição poética cujos personagens são caçadores].

Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 21/01/2005 - editado em 22/10/2011                                VOLTAR