Uma nova solução do problema dos quatro quatros.

Adaptado do livro O Homem Que Calculava, de autoria do grande brasileiro Malba Tahan.

• O problema dos quatro quatros é o seguinte:
• Escrever, com quatro quatros e alguns sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. 
  Na expressão não pode aparecer (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letras, tais como: logaritmo , limite , etc. Podem entretanto ser utilizados os símbolos de fatorial, (termial)* e raiz quadrada.
  (*) no enunciado original de Malba Tahan, o "termial" não é citado.

Afirmam os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os 101 números naturais de 0 a 100 e isto é verdadeiro, conforme demonstra a tabela abaixo.

Todos os números foram escritos utilizando-se as quatro operações fundamentais, raiz quadrada, fatorial e a unidade imaginária i.
Sobre o fatorial de um número natural, já sabemos da Análise Combinatória que:
n! = n(n-1)(n-2)(n-3) ... . 2.1, para n maior ou igual a 2.
Exemplo.: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Sobre a unidade imaginária i, já sabemos dos Números Complexos, que i = Ö-1 e i⁴ = 1.

Nota: as soluções em vermelho negrito são de autoria do Prof. Sebastião Vieira do Nascimento (Prof. Sebá) - da Universidade Federal de Campina Grande - Paraíba - UFCG.

N.º	Solução	N.º	Solução	N.º	Solução
0	44 – 44	35	4! + 44/4	69	44 + 4! + i4
1	44/44	36	4! + 4 + 4 + 4	70	(4!+44) / 4
2	4/4 + 4/4	37	4! + [(4! + Ö4)/Ö4]	71	4! + 4! + 4! - i4
3	(4+4+4)/4	38	44 – 4 - Ö4	72	(4!Ö4) / (4+4)
4	4 + (4-4)/4	39	4! + 4.4 - i4	73	4! + 4! + 4! + i4
5	(4.4 + 4)/4	40	4! + 4! - 4 - 4	74	4! + 4! + 4! + Ö4
6	(4+4)/4 + 4	41	Ö[(4! + (4+4)!)/4!]	75	4/(4%) - 4! - i4
7	(44/4) – 4	42	44 + Ö4 – 4	76	4! + 4! + 4! + 4
8	4 + 4 + 4 – 4	43	44 - 4/4	77	4/(4%) - 4! + i4
9	4 + 4 + 4/4	44	44 + 4 – 4	78	(4! - 4).4 - Ö 4
10	(44 – 4)/4	45	44 + 4/4	79	(4! - 4).4 - i4
11	4!/Ö4 - 4/4	46	44 - Ö4 + 4	80	(4.4 + 4).4
12	(44+4)/4	47	4! + 4! - 4/4	81	(4 - 4/4)4
13	4! – (44/4)	48	(Ö4)Ö4 + 44	82	(4! - 4).4 + Ö 4
14	4+4+4+Ö 4	49	4! + 4! + 4/4	83	44Ö4 - Ö(4! + i0)
15	44/4 + 4	50	44 + Ö4 + 4	84	(4! – 4).4 + 4
16	(Ö4)4 + 4 – 4	51	Ö4/(4%) + 4/4	85	(4 - i4)4 + 4
17	4!-(4!+4)/4	52	4!.4 – 44	86	44Ö4 - Ö 4
18	(4! + 4! + 4!)/4	53	4!.Ö4 + 4 + i4	87	44Ö4 - i4
19	4! - 4 - (4/4)	54	4! + 4! + 4 + Ö4	88	44 + 44
20	(4/4 + 4).4	55	Ö4/(4%) + Ö(4! + i4	89	44Ö4 + i4
21	4! - 4 - 4/4	56	4! + 4! + 4 + 4	90	4.4! - (4!/4)
22	(44/4).Ö4	57	(4! + 4).Ö4 + i4	91	4!.4 - Ö(4! + i4)
23	4! - 4(4-4)	58	Ö4 + (4! + 4).Ö4	92	44 + 4! + 4!
24	(Ö4)4 + 4 + 4	59	ÖÖ[(Ö4)4!]-Ö(4!+i4)	93	4!.4 - (Ö4 + i4)
25	4! + 4(4-4)	60	4Ö4 .4 – 4	94	4.4! + Ö 4 - 4
26	(44/Ö4) + 4	61	ÖÖ[(Ö4)4!]-Ö(4!-i4)	95	4!.4 – 4/4
27	4! + 4 - (4/4)	62	4.4.4 - Ö4	96	4!.4 + 4 – 4
28	(4!/4).4 + 4	63	(44 – 4)/4	97	4!.4+4/4
29	4! + 4 + 4/4	64	4(4 - Ö4) . 4	98	4.4! + 4 - Ö 4
30	(4!.4 + 4!)/4	65	(4 + 44) / 4	99	4(4!) + 4 - i4
31	{(4+Ö4)!+4!}/4!	66	4.4.4 + Ö4	100	(4! + 4/4).4
32	(4.4) + (4.4)	67	44 + 4! - i4
33	(ÖÖÖ44! + Ö4) / Ö4	68	44/4 + 4
34	4! + 4 + 4 + Ö4	69	44 + 4! + i4

Clique AQUI para conhecer uma outra solução que utiliza o conceito de termial de um número natural n maior ou igual a 2, que é a soma de todos os números naturais de 1 a n  e, portanto, a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética - PA  de razão igual a 1. Assim, por exemplo, é trivial que o termial de n, representado por n? , será dado por:
n? = (a₁ + a_n).(n / 2) = [(n + 1). n] / 2
Exemplo.: 6? = 7.6 / 2 = 21
Mas, a solução acima é muito melhor na minha opinião, já que a solução com termial, parece-nos um pouco artificial.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA -  19/03/2010 - Editado em 05/06/2011.

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