Números Complexos I

Um pouco de história

No século XVI , os matemáticos Cardano (Girolamo Cardano , matemático italiano, 1501-1576) e Bombelli (Rafael Bombelli , matemático italiano, 1526-1572) , entre outros, realizaram alguns progressos no estudo dos números complexos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wessel (Caspar Wessel - matemático norueguês, 1745-1818), Argand (Jean Robert Argand, matemático suíco, 1768-1822) e Gauss (Johann Friederich Carl Gauss, 1777-1855). Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Opostamente ao senso comum divulgado amplamente nos livros do segundo grau, a construção da teoria dos números complexos não teve origem na análise das equações do segundo grau, mas, sim, na busca da solução da equação do terceiro grau. Dizer que os números complexos surgiram da análise das equações do segundo grau, é tão somente uma aproximação simplificada do conhecimento. Talvez, e muito provavelmente, os autores pretendiam com isto, facilitar o entendimento para os alunos do segundo grau; cumpre-nos entretanto informar a verdade, com base na realidade da história da Matemática.
Didaticamente, entretanto, seguiremos um caminho convencional de abordagem, sem grandes prejuízos.

Unidade imaginária:
define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada
de -1. Pode-se escrever então: i =
Ö-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .

Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i

Potências de i :
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 . i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1
i7 = i6 . i = -i , etc.

Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:

i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).

Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .

NÚMERO COMPLEXO

Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo:
z = a + bi , onde i =
Ö-1 é a unidade imaginária .
Exemplos: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3); w = -3 -5i (a = -3 e b = -5) ; u = 100i ( a = 0 e b = 100)

NOTAS:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos
a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos
b = 0 , dizemos que z é um número real .
Exemplo: z = 5 = 5 + 0i .
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja,
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos
.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .

Exercícios Resolvidos:

1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.

Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.

2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .

Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i
\ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.

3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .

Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i
\ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.

CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z .

z = a + bi ® = a - bi
Ex: z = 3 + 5i ; = 3 - 5i

Nota : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados . 
Assim é que z = a + bi = (a,b).
Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss.
O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.

DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIA

Regra : Para dividir um número complexo z por outro w ¹ 0 , basta multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador .

Ex: = = = 0,8 + 0,1 i

Agora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes exercícios:

1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180

2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 ,
calcule Im(z).w + Im(w).z .

3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é:

4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:

5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:

6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:

7) Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
Clique
aqui para ver a solução.

8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240

9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.

10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.

11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0.

12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é:
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) ½ - (3/2)i

13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1+2i
b) 1+2i
c) 1 - 2i
d) 3 - 4i
e) 3 + 4i

14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10
b) 5 e 10
c) 7 e 9
d) 5 e 9
e) 0 e -9

15 - UEFS-94.1 - A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a)
Ö 13
b)
Ö 7
c) 13
d) 7
e) 5

16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i

17 - UCSal - Sabendo que (1+i)2 = 2i, então o valor da expressão y = (1+i)48 - (1+i)49 é:
a) 1 + i
b) -1 + i
c) 224 . i
d) 248 . i
e) -224 . i

GABARITO:
1) -3 - i   
2) -3 + 18i  
3) 4 + 3i  
4) 3/2  
5) -2 + 18i  
6) i  
7) 3  
8) 1 + 2i  
9) 50  
10) 32i  
11) -1 - i

12) E   
13) D   
14) A   
15) A  
16) A   
17) E

Paulo Marques - Feira de Santana/BA - 12/01/1999 

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