As canetas de Sofia

O problema a seguir, foi enviado por um visitante do site, solicitando a solução. Vamos ao enunciado:
Sofia guardou 320 canetas em várias caixas, de modo que a segunda caixa ficou com tantas canetas quanto a primeira; a terceira ficou com tantas canetas quanto as duas anteriores juntas; a quarta caixa ficou com igual número de canetas que a soma das tres anteriores e assim por diante, até guardar todas as canetas. Quantos canetas Sofia guardou na primeira caixa, sabendo-se que ela usou o maior número de caixas possível?.

SOLUÇÃO:
Sejam C1, C2, C3, ... Cn, as caixas onde serão depositadas as canetas e seja x o número de canetas na caixa C1. Pelo enunciado, deveremos ter a seguinte distribuição de canetas nas caixas C1 e restantes:
C1: x canetas
C2: x canetas
C3: x + x = 2x canetas
C4: x + x + 2x = 4x canetas
C5: x + x + 2x + 4x = 8x canetas
C6: x + x + 2x + 4x + 8x = 16x canetas
e assim sucessivamente.
É claro que deveremos ter:
x + x + 2x + 4x + 8x + 16x + ... = 320
Isto pode ser reescrito como:

x + (x + 2x + 4x + 8x + 16x + ...) = 320, onde os termos entre parênteses representam uma
Progressão Geométrica - PG de (n - 1) termos. Observe que são n caixas (de C1 a Cn) mas, entre parênteses está indicada a soma a partir da segunda caixa, ou seja, sem contar a primeira, o que justifica o (n - 1).

Vamos então efetuar a soma dos termos da PG:
x + 2x + 4x + 8x + 16 x + ... , com (n -1) termos; Já sabemos que a soma dos n primeiros termos de uma PG de primeiro termo a1 e razão q é dada por:


No presente caso, a1 = x e a razão q = 2. Como são (n - 1) termos, vem substituindo:
x + 2x + 4x + 8x + ... = x.(2n - 1 - 1) / (2 – 1).
Simplificando, fica:
x + 2x + 4x + 8x + ... = x . (2n - 1 - 1) = x . (2n - 1) - x
Como já vimos anteriormente que
x + (x + 2x + 4x + 8x + ...) = 320, vem, substituindo a expressão em negrito pelo resultado obtido acima (em azul):
x + x.(2n - 1) - x = 320, que simplificada resulta:
x . 2n - 1 = 320

Fatorando 320 obteremos: 320 = 26 . 5;
substituindo, fica: x . 2n - 1 = 26 . 5;

Daí tiramos o valor de x = (26 . 5) / (2n - 1) = 27 - n . 5

Portanto, x = 2(7 - n) . 5 , onde x é o número de canetas na primeira caixa e n o número de caixas. 

Como é dito no enunciado que Sofia usou o número maior possível de caixas, é óbvio que n = 7, pois, sendo x inteiro, 27 - n para n > 7 resultaria num número fracionário. (Exemplo: se n = 8, teríamos x = 5/2 que não é um número inteiro). 

Logo, como n = 7, vem imediatamente por substituição do valor de n na expressão em negrito acima, que x = 5
Logo, são 5 canetas na primeira caixa.
Resposta: Sofia guardou 5 canetas na primeira caixa.

A distribuição das canetas na 7 caixas fica sendo, então:
C1: 5 canetas
C2: 5 canetas
C3: 10 canetas
C4: 20 canetas
C5: 40 canetas
C6: 80 canetas
C7:160 canetas.
Realmente, a soma 5 + 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 resulta 320.

Nota: observe que para n inteiro positivo e menor do que 7, teríamos soluções mas, o número de caixas não seria máximo como exige o enunciado da questão. Assim, por exemplo, se n = 6 teríamos x = 2(7-6).5 = 2.5 = 10 canetas na primeira caixa, 10 na segunda, 20 na terceira, 40 na quarta, 80 na quinta e 160 na sexta, totalizando as 320 canetas de Sofia; mas, neste caso, só teríamos 6 caixas e esta quantidade não seria a máxima como o problema pediu.

Agora resolva este:

Sofia guardou 960 canetas em várias caixas, de modo que a segunda caixa ficou com tantas canetas quanto a primeira; a terceira ficou com tantas canetas quanto as duas anteriores juntas; a quarta caixa ficou com igual número de canetas que a soma das tres anteriores e assim por diante, até guardar todas as canetas. Quantas canetas Sofia guardou na quinta caixa, sabendo-se que ela usou o maior número de caixas possível?.
Resposta: 120 canetas.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA – 20/01/2004. Editado em 16/09/2012.

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