Determine os termos da progressão aritmética finita formada por números inteiros, ímpares, positivos ou  negativos, sabendo-se que a soma dos termos é igual a 7³.
Nota: este problema caiu no IME - Instituto Militar de Engenharia em 1998.

Solução:

Conjunto dos números ímpares:  {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...}

Um número ímpar qualquer, pode ser representado por 2k + 1, onde k  é um número inteiro.
Supondo que o primeiro termo da PA seja  a₁ = 2k + 1, e como trata-se de números ímpares, a razão da progressão é igual a 2. Os termos seguintes da PA serão então a₂ = 2k + 3, a₃ = 2k + 5, e assim sucessivamente. A PA finita procurada é então da forma: (2k + 1, 2k + 3, 2k + 5, ... a_n)  onde a_n é o termo de ordem n.

Vamos determinar o termo de ordem n:
Sabemos que  a_n = a₁ + (n – 1).r
Daí, substituindo os valores conhecidos, vem:

a_n = (2k + 1) + (n – 1).2 = 2k + 1 + 2n -2 = 2k + 2n – 1 = 2(k + n) - 1
A PA é então: [2k + 1, 2k + 3, 2k + 5, ... 2(k + n) – 1]
Substituindo os valores conhecidos na fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, e lembrando que foi dado no enunciado que S_n = 7³ vem:

Portanto, temos: (2k + n)n = 7³
Efetuando o produto indicado, fica: 2kn + n² = 7³ Þ 2kn = 7³ – n²
Da igualdade anterior podemos dizer que:
2k = (7³ – n²) / n = (7³ / n) – (n² / n) = (7³ / n) – n

Ora, como já vimos anteriormente que a₁ = 2k + 1, teremos que 2k = a₁ – 1 .
Substituindo o valor de 2k na expressão obtida acima, fica:

a₁ – 1 = (7³ / n) – n  ou seja: a₁ = (7³ / n) – n + 1

Observe que n é o número de termos da PA e, portanto, um número inteiro maior do que 1.
Sabemos também que a₁ é um número inteiro, já que é ímpar. Logo, os valores de n  terão que ser tais
que o quociente (7³ / n)  seja também um inteiro.
É óbvio então, que os únicos valores possíveis para n serão:
n =  7
n = 7²   
n = 7³
Vamos então atribuir estes 3 valores a n  na expressão  a₁ = (7³ / n) – n + 1 .
Para n = 7, vem: a₁ = (7³ / 7) – 7 + 1 = 7² – 7 + 1 = 49 – 7 + 1 = 43
Para n = 7², vem: a₁ = (7³ / 7²) – 7² + 1 = 7 – 49 + 1 =  8 – 49 = - 41
Para n = 7³ , vem: a₁ = (7³ / 7³) – 7³ + 1 =  1 – 343 + 1 = 2 – 343 = -341
Ora, conhecidos a₁ e a razão r = 2, poderemos escrever as seguintes progressões aritméticas
que resolvem a questão:

Para n = 7, a₁ = 43 e r = 2: PA: (43, 45, 47, 49, 51, 53, 55).

Para n = 7² = 49, a₁ = -41 e r = 2, teremos
a_n = a₄₉ = -41 + (49 – 1).2 = -41 + 48.2 = -41 + 96 = 55
Então a PA é: (-41, -39, -37, -35, ... , 55)

Para n = 7³ , a₁ = -341 e r =2, teremos
a_n  = a₃₄₃ = -341 + (343 -1).2 = -341 + 342.2 = -341 + 684 = 343
Então a PA é: (-341, -339, -337, ... , 343)

Portanto, as três progressões aritméticas que respondem ao problema são:
Com 7 termos: (43, 45, 47, 49, 51, 53, 55).
Com 49 termos: (-41, -39, -37, -35, ... , 55)
Com 343 termos: (-341, -339, -337, ... , 343)

Agora resolva estes:

1 – Determine a soma dos termos da PA: (43, 45, 47, 49, 51, 53, 55).
Resposta: 7³ = 343

2 – Determine a soma dos termos da PA: (-41, -39, -37, -35, ... , 55)
Resposta: 7³ = 343

3 – Determine a soma dos termos da PA: (-341, -339, -337, ... , 343)
Resposta: 7³ = 343
Paulo Marques, 06 de julho de 2006 – Feira de Santana – Bahia

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