A soma dos três primeiros termos de uma Progressão Geométrica- PG infinita e crescente é igual a 13
e a soma dos quadrados desses termos é igual a 91. Pede-se escrever a PG.

Solução:

Seja a PG infinita (a, b, c, ... )
Pelo enunciado, temos: a + b + c = 13 e a² + b² + c² = 91
Quadrando a primeira igualdade, vem:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)
Substituindo os valores de a + b + c = 13 e a² + b² + c² = 91 (dados do problema) na igualdade acima, fica:
13² = 91 + 2(ab + ac + bc)
169 = 91 + 2(ab + ac + bc)
169 – 91 = 2(ab + ac + bc)
78 = 2(ab + ac + bc)
78 / 2 = ab + ac + bc
39 = ab + ac + bc
ab + ac + bc = 39

Ora, sendo a o primeiro termo da PG e q a razão, poderemos escrever a PG tão bem e também como:
(a, aq, aq², ...) onde evidentemente a = a, b = aq e c = aq²

Substituindo esses valores na igualdade em negrito acima, vem:

a(aq) + a(aq²) + (aq).(aq²) = 39
a²q + a²q² + a²q³ = 39
Colocando a²q em evidencia, fica:
a²q(1 + q + q²) = 39

Mas, como também a + b + c = 13, poderemos escrever:
a + aq + aq² = 13
Colocando a em evidencia, fica:
a(1 + q + q²) = 13

Dividindo as duas igualdades anteriores membro a membro, teremos:

a²q(1 + q + q²) / a(1 + q + q²) = 39 / 13
Simplificando,
aq = 3

Ora, aq = 3 é o segundo termo b = aq , conforme visto antes. Logo, a PG (ainda não é a solução final) fica:
(a, 3, aq² ...)

Ora (de novo!) como a + aq + aq² = 13 e aq = 3, poderemos escrever:
a + 3 + aq² = 13 de onde vem a + aq² = 13 – 3 = 10
a + aq² = 10
Ajeitando a igualdade acima fica:
a + (aq)q = 10
Mas, aq = 3, logo:
a + 3q = 10

Veja bem:

Já sabemos que aq = 3 e que a + 3q =10.

Vamos resolver o sistema acima formado pelas igualdades aq = 3 e a + 3q = 10

De a + 3q = 10 tiramos a = 10 – 3q
Substituindo em aq = 3, fica:
(10 – 3q).q = 3
10q – 3q² = 3
10q – 3q² – 3 = 0
Arrumando convenientemente: -3q² + 10q – 3 = 0
Multiplicando ambos os membros por (-1):
3q² – 10q + 3 = 0
Esta é uma equação do segundo grau em q.

Resolvendo a equação acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3. ( deixo a resolução da equação para você).

Como pelo enunciado a PG é crescente, a raiz q = 1/3 não serve ao presente problema.
Logo, q = 3.

Aí, o problema foi resolvido pois, se aq = 3 e q = 3 então a = 1.

Como a PG é (a, aq, aq², ... ) então finalmente:
Como a = 1, aq = 3, vem que aq² = aq(q) = 3.3 = 9

Logo e finalmente a PG procurada é: (1, 3, 9, ...)
Claro que poderemos escrever também e tão bem, já que o enunciado fala numa PG infinita:
PG: (1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ... ) que é a resposta do problema.

Agora resolva este:

A soma dos três primeiros termos de uma Progressão Geométrica infinita e crescente é igual a 14 e a soma dos quadrados desses termos é igual a 84. Pede-se escrever a PG.
Resposta: PG: (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...)

Paulo Marques, 15 de fevereiro de 2003 – Feira de Santana – Bahia

VOLTAR
CONTINUAR