1 – Em uma PG infinita de termos positivos, a diferença entre o quarto termo e o primeiro termo é igual a 21 e a diferença entre o terceiro termo e o primeiro termo é igual a 9. Escreva a PG.

Solução:

Temos pelo enunciado:
a₄ – a₁ = 21
a₃ – a₁ = 9

Seja a o primeiro termo e q a razão da PG.
Como quem estudou PG sabe que a₄ = aq³ e a₃ = aq² , poderemos escrever:
aq³ – a = 21
aq² – a = 9
Fatorando ambas as igualdades, fica:
a(q³ – 1) = 21
a(q² – 1) = 9
Dividindo membro a membro as igualdades acima, vem:
(q³ – 1) / (q² – 1) = 21 / 9

Observando que:
q³ – 1 = (q – 1) (q² + q + 1)
q² – 1 = (q – 1) (q + 1)
Vem, substituindo:

[(q – 1) (q² + q + 1)] / [(q – 1) (q + 1)] = 21 / 9 = 7 / 3
Simplificando:
(q² + q + 1) / (q + 1) = 7 / 3

Lembrando que se a / b = c / d então a.d = b.c
Poderemos escrever:
3(q² + q + 1) = 7(q + 1)
Desenvolvendo:
3q² + 3q + 3 = 7q + 7
Simplificando, chegamos à equação do segundo grau em q:
3q² – 4q – 4 = 0
Resolvendo-a obtemos q = 2 ou q = -2/3
A raiz negativa não serve ao problema pois é dito no enunciado que a PG é formada por termos positivos. Logo, q = 2, que é a razão.

Como já tínhamos visto acima que a(q² – 1) = 9 onde a é o primeiro termo da PG, vem substituindo o valor de q:
a(2² – 1) = 9 , de onde tiramos 3a = 9 e, portanto, a = 3.

Ora, sendo o primeiro termo da PG igual a 3 e a razão igual a 2, concluímos que a PG procurada é:
PG: (3, 6, 12, 24, 48, 96, ...)

Agora resolva este:

Em uma PG infinita de termos positivos, a diferença entre o quarto termo e o primeiro termo é igual a 52 e a diferença entre o terceiro termo e o primeiro termo é igual a 16. Escreva a PG.
Resposta: PG: (2, 6, 18, 54, ...)

2 – Calcule A, um produto de infinitos termos


Solução:

É óbvio que A = x^1/3 . x^1/9 . x^1/27 . ...

Portanto, A = x^{1 / 3 + 1 / 9 + 1 / 27 + ...}

Ora, o expoente de x é uma PG infinita decrescente de primeiro termo 1/3 e razão 1/3.

Logo, como a soma dos termos de uma PG decrescente infinita (ilimitada) de primeiro termo a e
razão q é dada por

S = a / (1 – q) onde a é o primeiro termo e q é a razão vem:

1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = (1/3) / (1 – 1/3) = (1/3) / (2/3) = (1 /3). (3 / 2) = 1 / 2

Então, e finalmente, A = x^1/2 = Öx

Agora resolva este:

Sendo A dado pelo exercício acima, determine x de modo que A² – A = 0
Resposta: x = 2.

Paulo Marques, 16 de fevereiro de 2003 – Feira de Santana – Bahia

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