Um produto de senos e cossenos

Simplifique a expressão E = 8 . sen10º . cos20º . sen50º

Solução:
 
Sabemos da Trigonometria que:
sen(a+b) = senacosb + senbcosa
sen(a-b) = senacosb – senbcosa

Somando membro a membro, vem:

sen(a+b) + sen(a-b) = 2senacosb

Daí, vem:
sena.cosb = 1/2 [sen(a+b) + sen(a-b)]

Portanto:
sen10º . cos20º = 1/2 [sen(10º + 20º) + sen(10º - 20º)]
sen 10º . cos 20º = 1/2 [sen 30º + sen (- 10º)]
sen 10º . cos 20º = 1/2 [1/2 – sen 10º]

Nota: sen(- 10º) = - sen 10º , pois a função seno é ímpar ou seja f(-x) = -f(x)

Substituindo na expressão dada, vem:
E = 8 . {1/2 [1/2 – sen 10º]}. sen 50º
E = 8 . [1/4 – (sen 10º)/2] . sen 50º
E = [2 – 4.sen 10º] . sen 50º
E = 2.sen50º - 4.sen 10º . sen 50º (Eq. 01)

Mas, sena . senb = 1/2 [cos(a-b) – cos(a+b)]
Logo:
sen10º . sen50º = 1/2 [cos(10º - 50º) – cos(10º + 50º)]
sen10º . sen50º = 1/2 [ cos40º - cos60º ]
Nota: cos(-40º) = cos40º , pois a função coseno é par ou seja f(-x) = f(x) para todo x.

Substituindo na Eq. 01 acima, vem:
E = 2.sen50º - 4(1/2[cos40º - cos60º])
E = 2.sen50º - 2.cos40º + 1
Nota: cos60º = 1/2

Colocando 2 em evidência, fica:
E = 2(sen50º - cos40º) + 1

Como 50º e 40º são ângulos complementares, vem que sen50º = cos40º; daí decorre que sen50º - cos40º = 0
Daí, vem finalmente:
E = 2.0 + 1 = 0 + 1 = 1
Portanto, E = 1 ou seja: 8.sen10º.cos20º.sen50º = 1

Paulo Marques, Feira de Santana - BA, nos idos de outubro 1997; editado em 30/09/2006 e 12/01/2013.

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