Dois problemas de Trigonometria

I - Dada a função f : R ® R, definida por f(x) = 2sen2x – cos2x, assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para cada afirmação a seguir:
1 - f é uma função par
2 - f é uma função ímpar
3 - o período de f é p rad
4 - f não é par e não é periódica
5 - f(p ) = 1

Resposta: FFVFF

Solução:

1. f é uma função par (valor lógico F)
Sabemos que uma função y = f(x) é PAR, quando f(-x) = f(x), para todo x pertencente ao seu domínio.
Teremos, substituindo x por –x na lei que define a função:
f(-x) = 2sen(-2x) – cos(-2x)
Da teoria, sabemos que a função seno é ímpar e que a função cosseno é par.
Logo: f(-x) = -2sen2x – cos2x = - (2sen2x +cos2x)
Portanto, f(-x) ¹ f(x); a função f não é par .

2. f é uma função ímpar (valor lógico F)
Uma função y = f(x) é ÍMPAR, quando f(-x) = - f(x), para todo x pertencente ao seu domínio. Do item anterior, sabemos que f(-x) = - 2sen2x – cos2x
Como f(x) = 2sen2x – cos2x, vem que – f(x) = -2sen2x + cos2x
Logo, f(-x) ¹ - f(x); a função, então, não é ímpar.

3. O período de f é p rad (valor lógico V)
Temos f(x) = 2sen2x – cos2x .
Uma função y = f(x) é periódica de período T, quando f(x + T) = f(x) , para todo x pertencente ao seu domínio. Logo, para verificar se a função f tem período p , basta calcular f(x+p ) e, comparar com f(x).
Temos: f(x + p ) = 2sen2(x+p ) – cos2(x + p ) = 2sen(2x + 2p ) – cos(2x + 2p ) =
2sen2x – cos2x , que é exatamente igual a f(x). Logo, a função é periódica de período p rad.
Nota: as funções seno e cosseno são periódicas de período 2p rad, ou seja:
sen(a + 2p ) = sena e cos(a + 2p ) = cosa

4. f não é par e não é periódica (valor lógico F)
Dos itens 01 e 03, concluímos que a afirmação 4 é falsa, pois trata-se de uma conjunção onde uma proposição é verdadeira (f não é par) e a outra também é falsa (f não é periódica; acabamos de ver, que f tem período p rad). Sempre é bom rever: veja os arquivos de Lógica Matemática nesta página!.

5. f(p ) = 1 (valor lógico F)
Temos f(x) = 2sen2x – cos2x
Logo, f(p ) = 2sen2p - cos2p = 2.0 – 1 = -1
Portanto, a afirmação 5 é falsa.

II - Determine o período e o valor máximo da função y = 2sen2x – cos2x.

Solução:

Para a determinação do período de uma função do tipo y = psenx + qcosx, é sempre conveniente construir um triângulo retângulo.

Acompanhe com atenção:
Construa um triângulo de lados 1 e 2. Claro que a hipotenusa vale Ö 5, pelo teorema de Pitágoras. Seja q o ângulo oposto ao lado de medida 1. Podemos escrever: (Pegue agora uma folha de papel em branco e faça a figura); você desejaria a figura pronta, não é? Mas, é muito importante que você a construa, para acompanhar a solução. Acho que é melhor assim, para um perfeito entendimento. Daí, poderemos escrever:
senq = 1/Ö 5 (cateto oposto dividido pela hipotenusa}
cosq = 2/Ö 5 (cateto adjacente dividido pela hipotenusa)
Das expressões acima, vem que:
1 = senq .Ö 5
2 = cosq .Ö 5
Ora, f(x) = 2sen2x – cos2x = 2.sen2x – 1.cos2x
Substituindo os valores acima, vem:
f(x) = cosq .Ö 5.sen2x - senq .Ö 5.cos2x = Ö 5(cosq .sen2x - senq .cos2x)
Observando cuidadosamente a expressão acima, perceberemos que o segundo fator da multiplicação (em azul) é exatamente o seno da diferença de dois arcos. Vem então:
f(x) = Ö 5[sen(2x - q )]
Como o período da função y = a . sen(bx ± c) é igual a T = 2p /b, vem que:
T = 2p /2 = p rad.

Para calcular o valor máximo da função, sabendo que f(x) = Ö 5[sen(2x + q )], fica muito fácil. Como o valor máximo da função seno é igual a 1, vem finalmente que:
f(x)_max = Ö 5 . 1 = Ö 5

Respostas:
período = p rad
valor máximo = Ö 5

Paulo Marques - Feira de Santana - BA, em outubro de 1997, com revisão em 30/09/06.

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